1、第六讲,一阶系统,一阶系统,复杂系统的主要特征是：它以指数级方式增长，并且产生寻的的行业。一般来说，正反馈过程导致系统的指数级增长，负反馈过程导致寻的行为。,Business Dynamics,Figure 6-1 增长与寻的行为: 结果与行为,一阶系统,具有这种特征的简单结构式一阶线性反馈系统系统动态学中讲的阶是指系统中状态变量的个数一阶系统仅包括一个存量系统的线性指的是系统的状态变化速率是状态变量的线性组合的函数有时这样的函数还包括外生变量，用 表示,一阶系统,在系统动态学中，“线性”有专门的意义。系统是线性的，当且仅当系统的速率是状态变量 的加权和， 表达式为 其中， 都是常量。其他任何
2、形式的系统净流入速率都是非线性的,正反馈过程和指数增长,最简单的反馈结构式一阶正反馈回路。在一阶系统中，只有一个存量，表示为L，系统的存量随着净流入量而增加。反过来，系统的净流入速率取决于系统状态。一般说来，系统的净流入速率可能是系统状态的非线性函数。,正反馈过程和指数增长,若系统是线性的，则净流入量同系统状态变量比例变化,其中，参数 的单位是单位/单位时间，表示流速随着存量的增加成比例增加,正反馈过程和指数增长,正反馈过程和指数增长,正反馈过程和指数增长,正反馈过程和指数增长,一阶正反馈系统的行为特征可归结为一个指数函数L(0)表示时刻t=0时存量L的值，系统将从初始值L(0)状态以指数级方
3、式增长，其中指数增长的参数是g。,正反馈过程和指数增长,1、一阶线性系统的解析解求解一阶线性系统的微分方程dL/dt=gL，变换两边取积分,正反馈过程和指数增长,其中， 代表exp(c). 当t=0时，exp（gt）=1，此时，L的值按定义为L(0),因此 必须等于L(0),正反馈过程和指数增长,2.使用图形求解一阶线性正反馈系统,Business Dynamics,Exponential growth: structure (phase plot) and behavior (time plot)The fractional growth rate g = 0.7%/time unit. I
4、nitial state of the system = 1 unit. Points on plot show every doubling (10 time periods).,正反馈过程和指数增长,3、两个重要参数例题：设某省国民收入L(t)万元，现有国民收入 万元，递增百分数为g/年。若该省递增百分数达到亚洲四小龙兴旺期发展速度15%/年=0.15/年，则该省的国民收入,正反馈过程和指数增长,从此例中，常数g实际意义很强。下面讨论与常数g有关的一个概念。定义：已知一个量L(t)每单位时间增加gL(t),则1/g称时间常数，并记T=1/g若g= 0.15/年,则若用时间T 表达 得,正反
5、馈过程和指数增长,下面分析时间常数T的含义设t=T,则可以看出：经过一个时间常数T后，变量L(t)增加到L(0)的e倍，且在依次相邻的每一个时间常数T的时间间隔内，L(t)都以相同的增长倍数增加。,正反馈过程和指数增长,因此，若时间常数T很小，如T=5时间单位，即g=0.2/时间单位，则讲过5个时间单位，L(T)就可达到初始值L(0)的e倍；若时间常数T较大，如T=20时间单位，即g=0.05/时间单位，则讲过20个时间单位，L(T)就可达到初始值L(0)的e倍；,思考题,拿一张普通报纸，将其对折，然后再对折，此时报纸看起来还是很薄，如果把报纸对折40次呢？对折100次呢？不用计算机，单凭直觉
6、给出答案。对你的估计做置信区间为95%左右的概率判断。,答案,对折42次后将后达4.4亿米这比从地球到月球的距离还要长！对折100后，厚度是难以估量的，是从地球到太阳距离的850万亿倍,正反馈过程和指数增长,定义：倍增时间就是变量增长一倍所需要的时间。令 是倍增时间，带入,正反馈过程和指数增长,若按 指数增长的情况下达到5年翻一番，则,每年平均增长13.862%假设按上述指数增长10年翻一番，则,每年平均增长6.931%，70规则,Business Dynamics,Exponential growth over different time horizonsThe state of the
7、system is given by the same growth rate of 0.7%/time period in all cases (doubling time = 100 time periods).,一阶负反馈系统,1.典型流图,一阶负反馈系统,一阶负反馈系统,一阶负反馈系统,2、行为模式分析系统动力学方程,一阶负反馈系统,连续形式的微分方程由（1）式得,一阶负反馈系统,由（2）式定 ，将t=0代入：,代入（3）得方程的解为,Business Dynamics,Figure 8-10 Phase plot for first-order linear negative fee
8、dback system with explicit goal,一阶负反馈系统,模式一GL0,L(0)0,L(0)GL,GL,L(0),L,t,系统行为特征 （1）R （2）L (3)L GL,L(t0),t0,一阶负反馈系统,模式三GL=0,GL,L(0),L,t,系统行为特征 （1）R （2）L (3)L GL,L(t0),t0,一阶负反馈系统,模式四L(0)=GL,GL,L(0)=GL,L,t,系统行为特征 （1）R=0 （2）L (t)=L(0)=GL （3）状态处于平稳态,t0,一阶负反馈系统,3、两个重要参数（1）时间常数T定义：T=1/c（时间单位）T的含义当t=T，代入,一阶负
9、反馈系统,2.零目标（GL=0）的半衰期定义：,与T的关系,负反馈系统的补偿特性,问题提出： 典型一阶负反馈系统在受到一个外生常量输入（或输出）速率作用下，系统状态会出现什么特性？,负反馈系统的补偿特性,负反馈系统的补偿特性,负反馈系统的补偿特性,负反馈系统的补偿特性,负反馈系统的补偿特性,S型增长的反馈回路,S型增长的反馈回路,S型增长的反馈回路,1.S型增长的内部结构正反馈先起主导作用，负反馈后起主导作用。,S型增长的反馈回路,S型增长的反馈回路,S型增长的反馈回路,S型增长模式示例,S型增长模式示例,S型增长模式示例,S型增长模式示例,S型增长模式示例,S型增长模式示例,一阶反馈系统的复
10、杂性,一阶反馈系统也会呈现复杂的系统行为！考察某商品的销售问题。假定：销售量正比于还没有购买该商品的人数每人只需一件这样的商品总人数是恒定的商品更新的周期远大于商品普及所需的时间,一阶反馈系统的复杂性,(1)FRACTION = 0.06Units: dmnl/Month(2)TOTAL BUYERS = 100Units: person(3)buy rate = FRACTION*potential buyersUnits: person/Month(4)Buyers = INTEG(buy rate,1)Units: person(5)potential buyers = TOTAL BU
11、YERS-BuyersUnits: person,FINAL TIME: 60TIME STEP: 0.5Units: Month,一阶负反馈系统的行为是单调地趋于目标,一阶反馈系统的复杂性,FINAL TIME: 60TIME STEP: 0.5Units: Month,FRACTION = 0.06 dmnl/MonthTOTAL BUYERS = 100 person,一阶负反馈系统的行为是单调地趋于目标,一阶反馈系统的复杂性,FINAL TIME: 60TIME STEP: 0.5Units: Month,FRACTION = 0.1 dmnl/MonthTOTAL BUYERS =
12、100 person,一阶负反馈系统的行为是单调地趋于目标,一阶反馈系统的复杂性,FINAL TIME: 60TIME STEP: 0.5Units: Month,TOTAL BUYERS = 100 person,FRACTION = 0.1,FRACTION = 0.06,FRACTION = 0.01,一阶负反馈系统的行为是单调地趋于目标,一阶反馈系统的复杂性,FRACTION = 0.1,FRACTION = 0.06,FRACTION = 0.01,一阶反馈系统的复杂性 新假设,对于一种新商品人们并不了解，一开始就购买的人不会太多大部分人只是在听到已经购买的人的介绍或者看到别人在抢购
13、后才逐渐对该商品有所了解，购买者也才会多起来已经购买该商品的户数越多，越会促成更多的销售更符合实际的新假定是：销售量正比于还没有购买该商品的户数和已经购买该商品的户数的乘积,一阶反馈系统的复杂性 新假设,( 1)FRACTION = 0.002Units: dmnl/(Month*person)(2)TOTAL BUYERS = 100Units: person(3)buy rate = FRACTION*Buyers*possible buyersUnits: person/Month(4)Buyers = INTEG(buy rate,1)Units: person(5)possible
14、buyers = TOTAL BUYERS-BuyersUnits: person,FINAL TIME: 60TIME STEP: 0.5Units: Month,销售量正比于还没有购买该商品的户数和已经购买该商品的户数的乘积,一阶反馈系统的复杂性 新假设,FINAL TIME: 60TIME STEP: 0.5Units: Month,FRACTION = 0.002 dmnl/(Month*person),TOTAL BUYERS = 100 person,一阶反馈系统的复杂性 新假设,FINAL TIME: 60TIME STEP: 0.5Units: Month,FRACTION =
15、 0.001FRACTION = 0.002FRACTION = 0.004,TOTAL BUYERS = 100 person,一阶反馈系统的复杂性 新假设,左半段曲线的斜率为正，表明两个反馈环中正反馈环起主导作用左半段曲线的斜率随着水平变量Buyers的增加而递减至零，意味着正反馈环的力量逐渐削弱，水平变量Buyers的行为呈亚指数增长的特性，购买率buy rate则随着Buyers的增长而增至其最大值右半段曲线的斜率为负，且其绝对值随着水平变量Buyers的增加由零逐渐递增的，表明负反馈环不仅起了主导作用，而且其力量在不断加强，水平变量Buyers的行为呈超渐近增长的特性，购买率buy
16、rate则随着Buyers的增长由最大值逐渐衰减至零,一阶反馈系统的复杂性 S型增长,S型增长是一种常见而重要的系统行为，它是系统中正负反馈环交互作用的结果。在S型增长的过程中先是正反馈环占主导地位，因而系统行为呈指数增长的特性。按指数规律无限增长的正反馈过程是不会无止境地持续下去的：系统崩溃水平变量达到某一较高水平时，正反馈环的主导地位由负反馈环取而代之,一阶反馈系统的复杂性 新假设,一阶反馈系统的复杂性 新假设,FRACTION = 0.001,FRACTION = 0.002,FRACTION = 0.004,buy rate,S型增长系统的特点,两个特点：纯速率状态关系曲线可分为两段，前一段的斜率为正，称正反馈轨线，后一段的斜率为负，称负反馈轨线。当系统运行在正反馈轨线上时，主导反馈环为正反馈环，而当系统运行在负反馈轨线上时，主导反馈环为负反馈环。主导反馈环的转移发生在前后两段轨线的交接处。纯速率状态关系与横坐标有两个交点，左边一点是系统的不稳定平衡点，右边一点是系统的稳定平衡点，即S型增长趋近的目标。,一阶线性反馈系统行为模式,
