1、1.1 变化率和极限,一、平均和瞬时速度,二、平均变化率和割线,四、极限的非正式定义,五、极限的精确定义,三、函数的极限,一、平均和瞬时速度,运动物体在一段时间区间上的平均速度是通过物体走过的距离除以所用的时间来求得的。引例： 一块岩石突然松动从峭壁顶上掉下来，下落的头秒中下落的英尺数为,（1）求下来的头2秒中岩石的平均速度是多少？（2）求岩石在时刻 的速度。（瞬时速度）,解 （1）从 到 的头2秒的平均速度为,英尺/秒,（2） 先计算从 到任何稍后一点的时间,的区间上的平均速度,所以岩石在时刻 的瞬时速度为64 英尺/秒。,二、平均变化率和割线,定义 平均变化率 关于 在区间 上的平均变化率
2、是,注：几何上，平均变化率就是割线的斜率,图1.1 的图形的割线。其斜率为函数 在区间 上的平均变化率 。,割线,三、函数的极限,自变量趋于有限值时函数的极限,引例：,这个函数虽在x=1处无定义，但从它的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时， f(x)的值无限地接近于4，我们称常数4为f(x)当x1 时f(x)的极限。,四、极限的非正式定义,设 除了可能在点 没有定义外，在 的一个开区间上均有定义。如果对充分靠近 的 能任意靠近 ，那么我们就说当 趋于 时 趋于极限 并记作,这个定义是“非正式的”，因为任意靠近和充分靠近的说法是不正确的；它们的含义有赖于不同情况。,五、极限的精确定
3、义,注1,定义习惯上称为极限的定义其三个要素：10。正数，20。正数，30。不等式,注2,定义中,所以x x0时，f(x) 有无极限与 f(x)在x0处的状态并无关系，这是因为我们所关心的是f(x) 在x0附近的变化趋势，即 x x0时f(x) 变化有无终极目标，而不是f(x) 在x0这一孤立点的情况 。约定x x0但 xx0,注3,0反映了x充分靠近x0的程度，它依赖于，对一固定的而言，合乎定义要求的并不是唯一的。由不等式 |f(x) A| 来选定，一般地，越小，越小,例1 检验定义,证,于是,恒有,1.2 求极限和单侧极限,一、极限性质,二、代数地消去零分母,三、三明治（夹逼）定理,四、单
4、侧极限,五、与 有关的极限,定理1 极限法则如果,一、极限性质,和,那么,6. 幂法则,例1,解,定理2 可用代入法求多项式的极限,定理3 可用代入法求有理函数的极限，如果分母的极限不为零,二、代数地消去零分母,例2,解,(消去零因子法),三、三明治（夹逼）定理,定理4 三明治（夹逼）定理,四、单侧极限,例如,定义 右侧极限和左侧极限,定理5 单侧极限和双侧极限的关系,例3,证,左右极限存在但不相等,五、与 有关的极限,首先注意到,设法构造一个“夹逼不等式”，使函数,在 =0的某去心邻域内置于具有同一极限值的两个函数 g(x), h(x) 之间，以便应用夹逼准则,作如下图所示的单位圆,定理6,
5、例4,解,例5 求,解,例6 求,解,于是,1.3 与无穷有关的极限,一、 时的有限极限,二、 时有理函数的极限,三、水平和垂直渐近线,五、无穷极限,四、三明治（夹逼）定理,六、斜渐近线,一、 时的有限极限,如图，函数 是对一切 有定义的。当自变量x的绝对值无限增大时， 的值趋向于0。,我们用 时 的极限为0来总结我们观察的现象,定义 时的极限1. 如果当 沿正向离开原点愈来愈远时， 任意接近 ，我们说 趋于无穷时 有极限 并记作,2. 如果当 沿负向离开原点愈来愈远时， 任意接近 ，我们说 趋于负无穷时 有极限 并记作,定理7 时的极限法则,和,那么,6. 幂法则,解,例1 运用定理7 求极
6、限,例2,解,二、 时有理函数的极限,小结:,无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.,三、水平和垂直渐近线,定义 水平渐近线和垂直渐近线直线 是函数 图形的水平渐近线，如果有,直线 是该图形的垂直渐近线，如果有,例3:P130-P131: 例6-例9.,对 时极限的三明治（夹逼）定理也是成立的,四、三明治（夹逼）定理,例4: P133: 例12.,由例4得：,五、无穷极限,如图：可以观察到,当 趋于0时，,趋于无穷。,定义 无穷极限1. 如果对任何正实数 存在相应的 ，使得对一切满足 的 有 ，我们说 趋于 时 趋于无穷，并记作,2. 如果对任何负实数
7、 存在相应的 ，使得对一切满足 的 有 ，我们说 趋于 时 趋于负无穷，并记作,详见 P135的例15。,六、斜渐近线,1.4 连续性,一、在一点的连续性,二、连续函数,三、代数组合,四、复合函数,五、连续函数的中间值定理,一、在一点的连续性,定义 在一点的连续性内点： 函数 在其定义域的内点 处是连续的，如果,端点：函数 在其定义域的左端点 或右端点 是连续的，如果分别有,例1,证,由定义知,单侧连续,定理,函数 在其定义域的点 是右连续的，如果,如果,则 在 是左连续的。,函数 在 处连续当且仅当函数 在 处既左连续又右连续。,例2,解,右连续但不左连续 ,函数的间断点,1.跳跃间断点,例
8、3,解,2.可去间断点,例4,解,注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义, 则可使其变为连续点.,如例4中,特点,例5,解,解,例6,二、连续函数,在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.,连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.,例如,三、代数组合,定理8 连续函数的性质如果函数 和 在 连续，那么下列 和 的组合在 都是连续的。和： 差：积：乘常数： 对任何数商： 倘若,定理9 连续函数的复合函数如果函数 在 连续而 在 连续，那么复合函数 在 连续。,四、复合函数,例7 求,解,它的一个定义区间是,定理10 连续函数的中间值定理在闭区间 上的连续函数一定取到 和 之间的每个值。,五、连续函数的中间值定理,几何解释：,推论:,例8,证,由零点定理,1.5 切线,一、什么是曲线的切线？,二、求函数图形的切线,三、变化率：在一点处的导数,一、什么是曲线的切线？,曲线的切线(计算割线的斜率的极限来求曲线的切线),如P152 图1.62，设曲线C，方程,显然,定义 斜率和切线,二、求函数图形的切线,三、变化率：在一点处的导数,下列所有陈述是指同一件事,
