1、 1-7 试画出题 1-7 图中的的矩形薄板的正的体力，面力和应力的方向。注意：（1）无论在哪一个位置的体力，在哪一个边界面上的面力，均为沿坐标轴正方向为正，反之为负。 （2）边界面上的应力应是以在正坐标面上，方向沿坐标轴正方向为正，反之为负，在负坐标面上，方向沿坐标轴负方向为正，反之为负。1-8 试画出题 1-8 图中的三角形薄板的正的面力和体力的方向。2-7 在导出平面问题的三套基本方程时，分别应用了哪些基本假设？这些方程的适用条件是什么？【解答】 （1）在导出平面问题的平衡微分方程和几何方程时应用的基本假定是：物体的连续性，小变形和均匀性。在两种平面问题（ 平面应力、平面应变问题）中，平
2、衡微分方程和几何方程都适用。（2）在导出平面问题的物理方程时应用的基本假定是：物体的连续性，完全弹性，均匀性，小变形和各向同性，即物体为小变形的理想弹性体。在两种平面问题（平面应力、平面应变）中的物理方程不一样，如果将平面应力问题的物理方程中的 E 换位 ， ，就得到平面应变问题的物211换 为理方程。2-8 试列出题 2-8 图（a） ，题 2-8 图（b）所示问题的全部边界条件。在其端部边界上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件。【解】 （1）对于图（a）的问题在主要边界 上，应精确满足下列边界条件：0,xb0(),xbgy0()xyb；。在小边界（次要边界）y=0 上，能精确满足下
3、列边界条件：01(),yh()yx。在小边界（次要边界） 上，有位移边界上条件： 这2h22()0,()yhyhuv。两个位移边界条件可以应用圣维南原理，改用三个积分的应力边界条件来代替，当板厚 时，12221200()(),0,()byhbyxhdxghb。（2）对于图（b）所示问题在主要边界 上，应精确满足下列边界条件：/2yh/2()0,yhq/21()0yxhq；。在次要边界 上，应用圣维南原理列出三个积分的应力边界条件，当板厚x时，1/20/2/0(),()hxNhxySdyFM。在次要边界 上，有位移边界条件： 这两个位移边界条件l ()0,()xlxluv。可以改用三个积分的应力
4、边界条件来代替 /212/2/(),2()hxlNl ShxyldyqlFhqlMl。2-9 试应用圣维南原理，列出题 2-9 图所示的两个问题中 OA 边的三个积分的应力边界条件，并比较两者的面力是否静力等效？【解】 （1）对于图（a） ，上端面的面力向截面形心简化，得主矢和主矩分别为， ， 。应用圣维南原理，列出三/2NFqbS=020()/12bqxMdqb个积分的应力边界条件，当板厚 时，0220(),1()bybyxdxqb。（2）对于图（b） ，应用圣维南原理，列出三个积分的应力边界条件，当板厚时，10200(),1()bybyxdxqb。所以，在小边界 OA 边上，两个问题的三个
5、积分的应力边界条件相同，这两个问题为静力等效的。2-10 检验平面问题中的位移分量是否为正确解答的条件是什么？【解】 （1）用位移表示的平衡微分方程 222221( )01xyEuufxyvf（2）用位移表示的应力边界条件 21()()12xyxEuuvlmfxyyvlf （3）位移边界条件(),()ssuuv。 在 上2-11 检验平面问题中的应力分量是否为正确解答的条件是什么？【解】 （1）平衡微分方程 0,yxxyxyff。（2）相容方程。()(1)yxxyf（3）应力边界条件（假定全部为应力边界条件， ）s/. (),xyxlmf。 s（ 在 上 ）（4）若为多连体，还须满足位移单值条
6、件。2-13 检验下列应力分量是否是图示问题的解答：（a）题 2-13 图（a） ， 。2,0xyxqb（b）题 2-13 图（b） ，由材料力学公式， （取梁的厚度,SxxyFMIbIb=1） ，得出所示问题的解答：。32232,(4)xxyqqhylhl又根据平衡微分方程和边界条件得出。3322yll试导出上述公式，并检验解答的正确性。【解】按应力求解时， （本题体力不计） ，在单连体中应力分量 必须满,xy足：平衡微分方程、相容方程、应力边界条件（假设 ） 。s（1） 题 2-13 图（a） ，2,0xyxqb 相容条件：将应力分量代入相容方程，教材中式（2-23），22()()0xyx
7、不满足相容方程。 平衡条件：将应力分量代入平衡微分方程 0yxxyx显然满足。 应力边界条件：在 边界上，xa。2(),()0xaxyaqb在 边界上，yb。()0,()yyxb满足应力边界条件。（2） 题 2-13 图（b） ，由材料力学公式， （取梁的厚度,SxxyFMIbIb=1） ，得出所示问题的解答： 。又根据平衡微分俄32232,(4)xxyqqhylhl方程和边界条件得出 。试导出上述公式，并检验解答的32yll正确性。 推导公式：在分布荷载作用下，梁发生弯曲变形，梁横截面是宽度为 1，高为 h 的矩形，其对 z 轴（中性轴）的惯性距 ，应用截面法可求出任意截面的弯矩方程312z
8、hI和剪力方程分别为 。23(),()6SqqxMxFll所以截面内任意点的正应力和切应力分别为，3()2xzyqIlh。22233()41)(4)SxyFxybl根据平衡微分方程的第二式（体力不计），0yx得到。332yqxyAlhl根据边界条件 2()0,yh得 ，qxl所以 。332yylhll 相容条件：将应力分量代入相容方程。2 324()()0xyqxxlh不满足相容方程。 平衡方程：将应力分量代入平衡微分方程显然满足。 应力边界条件：在主要边界 上，应精确满足下列边界条件：2yh/2/(),0yhqxl/2()0yxh。自然满足。在 x=0 的次要边界上，外力的主矢量，主矩都为零
9、。有三个积分的应力边界条件：/20/2/0(),()hxhxydy。在 次要边界上， 。这两个位移边界条件可以改用积分的l()0,()xlxluv应力边界条件来代替。3/2/22/ /322/ / 2()0,6()(4)hhxlxlhhxyl xydyqdlqlxylddyl。所以，满足应力的边界条件。显然上两图中的应力分量都满足平衡微分方程和应力边界条件，但不满足相容方程，所以两题的解答都不是问题的解。2-15 设已求一点处的应力分量，试求 ：12,（a） 10,5,0;xyxy（b） 24【解】根据教材中式（2-6）和 可分别求出主应力和主应力的方1tanxy向：（a） 10,5,10;x
10、yxy1 2221121()(5),50tan.750,36xy。得（b） 0,4;xyxy1 2221121()(0),5tan.7845,3,xy。得2-17 设有矩形截面的悬臂梁，在自由端受有集中荷载 F，如题 2-17 图所示，体力不计，试根据材料力学公式，写出弯应力 和切应力 的表达式，并取挤xxy压应力 ，然后证明，这些表达式满足平衡微分方程和相容方程，再说明，0y这些表达式是否表示正确的解答。【解】 （1）矩形悬臂梁发生弯曲变形，任意横截面上的弯矩方程为 ，()MxF横截面对 z 轴（中性轴）的惯性距为 ，根据材料力学公式，弯应力312zhI；该截面上的剪力为 ，剪应力3()12
11、xzMyFxIh()SFx；并取挤压应力 。2233()46)()4Sxy yl0y（3） 经验证，上述表达式能满足平衡微分方程 0,yxxyxyff。也能满足相容方程。2()()(1)0yxxyfx再考察边界条件：在 的主要边界上，应精确满足应力边界条件：2h/2()0,yh/2()0;yxh。能满足。在次要边界 x=0 上，列主三个积分的应力边界条件：/20/2/0(),()hxhxydy。满足应力边界条件。在次要边界 ，列出三个积分的应力边界条件：l/2/23/ /222/ /31()0,6()()4hhxllhhxyl Fdylydldy。满足应力边界条件。因此，它们是该问题的正确解答。3-2 取满足相容方程的应力函数为： 试求出223(1),(),()axybxycxy应力分量（不计体力） ，画出题 3-2 图所示弹性体边界上的面力分布，并在次要边界上表示出面力的主矢量和主矩。【解】 （1）应力函数 ，得应力分量表达式2axy。0,2,xyxy在主要边界 上，即上、下边，面力为h。22(),()yhyxaax在次要边界 上，面力的主矢量和主矩为0l
