1、第一节第一节定积分概念定积分概念- 1 -第五章第五章定积分定积分第一节 定积分的概念一 两个实例二 定积分的定义三 定积分的几何意义四 定积分的性质第一节第一节定积分概念定积分概念- 2 -第五章第五章定积分定积分ba?=A实例1 曲边梯形的面积一 两个实例)(xfy =)(xfy = )0)( xf 、曲边梯形由连续曲线x,ax =轴与 两条直线bx =所围成.abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积（四个小矩形） （ 九个小矩形）xyo第一节第一节定积分概念定积分概念- 3 -第五章第五章定积分定积分观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放第一
2、节第一节定积分概念定积分概念- 4 -第五章第五章定积分定积分曲边梯形如图所示，,1210bxxxxxabann=null分点内任意插入若干个在区间;,11=iiiiixxxxxnba，长度为区间个小分成把区间，上任取一点在每个小区间iiixx,1iiixfA = )(积为为高的小矩形面为底，以 )(,1 iiifxx xyoa bi相应地将曲边梯形分成个小曲边梯形 ,n1ixix第一节第一节定积分概念定积分概念- 5 -第五章第五章定积分定积分iniixfA =)(1曲边梯形面积的近似值为iniixfA =)(lim10时，趋近于零即小区间的最大长度当分割无限加细)0(,max,21=nxx
3、x null曲边梯形面积为实例2 变速直线运动的路程设某物体作直线运动，,0)( tv且这段时间内所经过的路程. 求物体在)(tvv =是时间间,21TT 上 t 的一个连续函数,隔已知速度第一节第一节定积分概念定积分概念- 6 -第五章第五章定积分定积分思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值（1）分割212101TtttttTnn=null1=iiitttiiitvs )(部分路程值某时刻的速度（2）求和iinitvs =)(1（3）取极限,max21 nttt = nulliniitvs
4、 =)(lim10路程的精确值第一节第一节定积分概念定积分概念- 7 -第五章第五章定积分定积分二、定积分的定义定义 设函数)(xf在区间, ba上有界，在, ba中任意插入若干个分点,1210bxxxxxann=null把区间, ba分成n个小区间，各小区间的长度依次为1=iiixxx ， ),2,1( null=i ， 在各小区间上任取一点),(1 iiiixx 作乘积iixf )(),2,1( null=i并作iininxfI =)(1和记 ,max21 nxxx = null如果不论对, ba无论第一节第一节定积分概念定积分概念- 8 -第五章第五章定积分定积分怎样的分法，也不论在小区
5、间,1 iixx上点i取法，怎样的只要当0时，和式nI有确定的极限,I称这个极限I为函数)(xf我们在区间, ba 上的 定积分 , 记为=baIdxxf )(iinixf =)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分区间, ba积分上限积分下限积分和第一节第一节定积分概念定积分概念- 9 -第五章第五章定积分定积分注意 ：（1） 积分值仅与被积函数及积分区间有关 ，=badttf )(=baduuf )(（ 2）定义中区间的分法和i 的取法是任意的. 而与积分变量的字母无关. （3）当函数 )(xf 在区间 , ba 上的定积分存在时，称 )(xf 在区间 , ba 上 可积 . badx
6、xf )(即定理 1 当函数 )(xf 在区间 , ba 上连续时，则 )(xf 在区间 , ba 上可积. 定理 2设函数 )(xf 在区间 , ba 上有界，且只有有限个 间断点， 则 )(xf 在区间 , ba 上可积. 第一节第一节定积分概念定积分概念- 10 -第五章第五章定积分定积分例1 利用定义计算定积分.102dxx解将 1,0 n等分，分点为nixi= ，( ni ,2,1 null= )小区间 ,1 iixx的长度nxi1= ，( ni ,2,1 null= ) 取iix= ，( ni ,2,1 null= ) iinixf =)(lim10iinix=210lim ,lim120iniixx = nninin1lim21=ninin1231lim6)12)(1(1lim3+=nnnnn+=nnn121161lim .31=dxx102
