1、高三 二模 考试数学试题参考答案 第 1 页（共 21 页） 淄博市 2017-2018 学年度高三 二 模考试 数学 试题参考答案及评分说明 2018 05 第卷（选择题 共 60 分） 一、 选择题：本大题共 12 小题， 每小题 5 分，共 60 分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1 已知 1 2 , 3M x x N x x ，则 MNR A 32， B 32(， C , 1 2,3 D , 1 2,3 2 若复数 1iz i （ i 为虚数单位），则 z = A 1 B 12 C 22 D 2 3 （文 科 ）已知 c o s 2 c o s 2 ，则 tan4
2、 A 13 B 3 C 31 D 3 3 （理 科 ） 公差 为 2 的 等差数列 na ，前 5 项 和为 25 ， 则 10a A 21 B 19 C 17 D 15 4 公元 263 年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了 “ 割圆术 ” 如图是利用刘徽的“ 割圆术 ” 思想设计的一个程序框图，则输出的 n 值为 （已知： s i n 1 5 0 . 2 5 8 8 , s i n 7 . 5 0 . 1 3 0 5 ，3 1 .7 3 2 , 2 1 .4 1 4) A 12 B 20 C 24 D.48 高三 二模 考试数学
3、试题参考答案 第 2 页（共 21 页） 5 某几何体的主 （ 正 ） 视图与俯视图如图所示，左 （ 侧 ） 视图与主视图相同，且图中的四边形都是边长为 2 的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是 A 320 B 34 C 6 D 4 6 已知函数 lo g ( 1) 2 ( 0ay x a 且 1)a 恒 过 定 点 A 若 直线 2mx ny过点 A ，其中 ,mn是正实数，则 12mn 的 最小值是 A 32 B 3 2 2 C 92 D 5 7 将函数 ( ) 2 s i n ( 0 )8f x x 的图像向左平移 8 个单位，得到函数 )(xgy 的图像，若 )(xgy 在
4、0,4上为增函数，则 的最大值为 A 1 B 2 C 3 D 4 8 （文 科 ） 已 知菱形 ABCD 的边长为 4 ， 30ABC ，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个顶点的距离 都 大于 1的概率是 A 18 B 14 C 8 D 4 8 （ 理 科 ） 已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，且满足 2 5 8,2 ,3a a a 成等差数列， 则 363SS A 94 或 32 B 1312 或 3 C 94 D 1312 或 32 9 双曲线 2222: 1 ( , 0 )yxC a bab 的 上 焦点为 F ，存在直线 xt 与 双曲线 C 交于,AB两点，使得 AB
5、F 为等腰直角三角形，则 该双曲线 离心率 e A. 2 B. 2 C. 21 D. 51 高三 二模 考试数学试题参考答案 第 3 页（共 21 页） 10 函数 2( ) cosf x x x 在 ,22上 的图象大致是 11 棱长为 1的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D ，动点 P 在其表面上运动，且与点 A 的距离是 233 ，点 P 的集合形成一条曲线， 则 这条曲线的长度是 A 233 B 536 C 3 D 736 12 若 存在两个正实数 yx, 使得等式 0)ln) ( ln2(2 xyexyax 成立 （其中 e 为自然对数的底数），则实数 a 的取值范围是
6、A ,0 B 20,eC ,2eD 2, 0 ,e 第 卷（非选择题 共 90 分） 二、 填空题 ： 本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13 （文科） 命题“ 0x， 2 10x ax ”是 真命题 ， 则 实数 a 的 取值 范围是 ( ,2) 13 （理科）从标有 1,2,3,4,5 的五张卡片中，依次抽出 2 张，则在第一次抽到偶数的条件下，第二次抽到奇数的概率为 _34 _ 14 向量 ,ab满足 1, 3a ， 1b ， 3ab ， 则 a 与 b 的 夹角为 _23 _ 15 （文科） 在 ABC 中， sin 3 sinBA ， 2BC ， 6C ，则 AC 边
7、上的高为 _ 22 _ 高三 二模 考试数学试题参考答案 第 4 页（共 21 页） 15 （理科）甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借 A ， B ， C ， D 四类课外书（每类课外书均有若干本），已知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅 A 类课外书，则不同的借阅方案种类为 _60 _ （用数字作答） 16 椭圆 2236 0 12xy 的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，弦 AB 过 1F ，若 2ABF 的内切圆周长为 2 ， ,AB两点的坐标分别为 11,xy 和 22,xy ，则 21yy _3 _ 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或
8、演算步骤 第 17 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答 第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答 （一）必考题：共 60 分 17 （ 文科 12 分） 已知等比数列 na 的前 n 项和为 nS ，数列 nbn是公差为 1的等差数列，若112ab ， 4212aa， 4 2 3+2S 3SS （ ） 求数列 na ,nb 的通项公式； （ ） 设 22nnnnbncnan ， （ 奇 数 ）， （ 偶 数 ）， nT 为 nc 的前 n 项和，求 2nT 解： （ ） 4 2 323S S S， 4 3 3 22S S S S , 432 , 2a a q 2 分 又 4212a
9、a 1 2a ， 2nna 4 分 由上可知数列 nbn是 首项 1 1b ，公差 1d 的等差数列 nb nn ，从而数列 nb 的通项公式为 2nbn 6 分 （ ） 由 （ ） 知 211,22,2221nnnnn nnn n n ncc （ 奇 数 ） （ 奇 数 ）（ 偶 数 ） （ 偶 数 ）高三 二模 考试数学试题参考答案 第 5 页（共 21 页） 7 分 所以 2 1 2 3 2nnT c c c c 1 21351 1 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 3 3 5 2 1 2 1 2 2 2 2 nnn 9 分 21111 21 2112 2 1 14nn 11 分
10、 21122 1 3 2 3nnn 12 分 17 （ 理 科 12 分） 在 ABC 中， 23BAC,D 为边 BC 上一点， DA AB ，且 32AD （ ）若 2AC ，求 BD ； （ ）求 DA DADB DC 的取值范围 解：（ ）因为 23BAC， 2BAD 所以 6CAD， 在 DAC 中， 由余弦定理知 2 2 2 72 c o s 64C D A C A D A C A D ，得 72CD ， 2 分 从而， 2 2 23212c o s27 212A D C D A CA D CA D C D 4 分 （或用正弦定理求得 27sin 7ADC） 高三 二模 考试数学试
11、题参考答案 第 6 页（共 21 页） 所以 21cos 7ADB 5 分 在直角三角形 DAB 中， 7c o s 2ADDB A D B 所以所求 BD 的长为 72 6 分 （ ） 设 ADB ，则 6ACD 在直角三角形 DAB 中， cosDADB ， 8 分 在 DAC 中，由正弦定理知 ： sin ( )6 2 sin ( ) 6sin6DADC 10 分 于是 c o s 2 s i n ( ) 3 s i n6D A D AD B D C 11 分 由题设知 62，故 1 sin 12 ， 因此所求 DA DADB DC 的取值范 围为 3,32 12 分 18 （文科 12
12、 分） 如图，在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中， 1 2C A C B C C ， 1 1 1ACC CC B , 直线 AC 与直线 1BB 所成的角为 60 （）求证： 11AB CC ； （）若 1 6AB ，求点 B 到平面 1ABC的距离 解 证 ： （） 在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，各侧面均为平行四边形 高三 二模 考试数学试题参考答案 第 7 页（共 21 页） 所以 1BB / 1CC ,则 1ACC 即为 AC 与 1BB 所成的角 所以 1 1 1 60A C C C C B 2 分 连接 1AC , 因为 1 2C A C B C C 所以 1ACC 和
13、 11BCC 均 为 等 边 三 角形 3 分 取 1CC 的中点 O ,连 AO 和 1BO 则 1 1 1,A O C C B O C C 4 分 又 1AO B O O ， 所以 1CC 平面 1AOB 5 分 1AB 平面 1AOB ，所以 11AB CC 6 分 （）由（）知 1 3AO B O ,因为 1 6AB 则 2 2 211AO B O AB,所以 1AO BO ,又 1AO CC 所以 AO 平面 11BCCB ，且 3AO 8 分 在三角形 1ABC 中， 221 2 2 6 1c o s 2 2 2 4A C B 所以1 15sin 4ACB,11 1 5 1 522
14、2 4 2A C BS 9 分 又13 2 2 34B C BS 10 分 设点 B 到平面 1ABC 的距离为 d ，由11B AB C A BCBVV得 11 分 1 1 5 1 333 2 3d ，解得 2 155d 12 分 18 （ 理 科 12 分） 如图， 在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，1 2C A C B C C ，高三 二模 考试数学试题参考答案 第 8 页（共 21 页） 1 1 1ACC CC B ,直线 AC 与直线 1BB 所成的角为 60 （）求证： 11AB CC ； （）若 1 6AB ， M 是 1AB 上的点，当平面 1MCC 与平面 1ABC 所
15、成二面角的余弦值为 15 时，求1AMMB 的值 解 证 ： （）在三棱柱 1 1 1ABC ABC 中，各侧面均为平行四边形 所以 1BB / 1CC ,则 1ACC 即为 AC 与 1BB 所成的角 所以 1 1 1 60A C C C C B 2 分 连接 1AC 和 1BC, 因为 1 2C A C B C C ， 所以 1ACC 和 11BCC 均 为 等 边 三 角形 3 分 取 1CC 的中点 O ,连 AO 和 1BO, 则 1 1 1,A O C C B O C C 4 分 又 1AO B O O ,所以 1CC 平面 1AOB 5 分 1AB 平面 1AOB ，所以 11A
16、B CC 6 分 （）由（）知 1 3AO B O ,因为 1 6AB 则 2 2 211AO B O AB,所以 1AO BO ,又 1AO CC 所以 AO 平面 11BCCB 7 分 以 1OB 所在直线为 x 轴， 1OC 所在直线为 y 轴， OA 所在直线为 z 轴 如图建立空间直角坐标系 ， 则 (0,0, 3)A , (0, 1,0)C , 1(0,1,0)C , 1( 3,0,0)B (0, 1, 3)AC , 1 ( 3, 0, 3 )AB , 1 (0,2,0)CC 设 1AM tMB ， ( , , )M x y z ,则 ( , , 3 ) ( 3 , , )x y
17、z t x y z 高三 二模 考试数学试题参考答案 第 9 页（共 21 页） 所以 33, 0 ,11tx y ztt ， 33( , 0, )11tM tt 所以 33( ,1, )11tCM tt 9 分 设平面 1ACB 的法向量为 1 1 1 1( , , )n x y z ，平面 1MCC 的法向量为 2 2 2 2( , , )n x y z 所以 1 1 111 110 3 00 3 3 0n A C y zn A B xz 解得 1 ( , 3,1)n 10 分 2212 2 2220033 0011yn C Ct x y zn C Mtt 解得 2 (1,0, )nt 1
18、1 分 所以 122121 1c o s551tnnnn t 解得 12t 或 2t ，即112AMMB 或1 2AMMB 12 分 19 （文科 12 分） 为落实 “精准扶贫 ”战略，某 县 决定利用扶贫资金 帮扶 具有 地方 特色的 传统手工业发展 根据市场调研， 扶贫 项目组利用 数据分析技术， 模拟项目 未来预期 ， 结果显示，项目 投资 x （万元）和 产品利润 y （万元） 有 如下 关系 ： 序号 i 1 2 3 4 5 项目 投资 ix （万元） 30 40 50 60 70 产品利润 iy （万元） 90 120 180 260 310 并且进一步 分析发现 ， 用模型 2
19、y bx a可以较好的拟合这些数据 设 2 1, 2, 3, 4, 5iit x i ， 5115 iitt ， 为方便计算， 对数据初步处理得到下面一些统计量的值 ： 高三 二模 考试数学试题参考答案 第 10 页（共 21 页） （ ）求回归方程 2 y bx a（回归系数 四舍五入， 小数点后保留 两位 数字 ）； （ ） 该 扶贫项目用于支付工人劳动 薪酬 总额 用公式 1.2w y x 计算 ， 当 工人劳动 薪酬 总额 不少于 120万元时，则 认为该项目可以完成“脱贫”任务 假设政府投入 该项目 的扶贫资金（单位 ： 万元）可以是区间 45,80 内 的 任意整数值，求可以完成
20、“ 脱贫 ” 任务的概率 附：对于具有线性相 关的一组数据 , 1, 2,iix y i n ，其回归方程为 y bx a.其中： 121()niiiniix x y ybxx，1111,nniiiix x y ynn. 解：（ ）设 2tx ， 回归方程可变为 y bt a， 根据 所给 数据得， 515 21( ) ( ) 5 8 6 0 0 0 2 9 3 0 .0 610140000 5070iiiiit t y ybtt 2分 因为回归方程经过样本中心 2700,192 ， 所以 19 70006 302 0 . 2a y b t 4 分 所以回归方程为： 0.06 30yt 即 2 0.06 30yx 6分 （ ） 由 20 . 0 6 3 0 1 2 01 . 2 1 . 2xw y x x 8 分 解得 50x 10分 区间 45,80 内共含有整数个数为 36 个，其中不小于 50 的有 31个， x y t 5 21 ii tt 51 iii t t y y 50 192 2700 10140000 586000
