1、2-1 投影法的基本知识,2-2 平面立体的构形及投影表示,2-3 回转立体的构形及投影表示,第二章 投影理论基础,顶点,棱面,母线,轴线,棱,线,图2-1,基本体与几何要素,底面,2-1 投影法的基本知识,五、平面的投影,二 、投影与制图,一、投影法,三、点的投影,四、直线的投影,一、投影法 (一)投影法的概念 (二)投影法的分类 1. 中心投影法 2. 平行投影法 （1）斜投影法 （2）正投影法,(三）正投影的特性 1. 从属性 2. 平行性 3. 定比性 （1） （2） 4. 积聚性 5. 保真性 6. 类似性,投影中心,投影面,投影线,空间点,投影,图2-2 投影法的概念,S,B,A,
2、b,a,图2-3,中心投影法,S,斜投影法,正投影法,图2-4,平行投影法,A,B,C,D,A,B,C,D,图2-5,从属性,图2-6,平行性,图2-7,积聚性,图2-8,保真性,图2-9,类似性,二、投影与制图 (一)概述 1. 物体的单面视图 2. 物体的三视图 （1）建立三面投影体系 （2）形成物体的三视图 （3）展开投影体系 （4）三视图的规范形式 (二)三视图的投影特点,例2-1 物体三视图的画法,图2-10,物体的单面视图,结论:利用单面视图无法确定物体的空间形状,V,H,W,图2-11(a),建立三面投影体系,V面:正立投影面 H面:水平投影面 W面:侧立投影面,图2-11(b)
3、,形成物体的三视图,V,H,W,V,H,W,图2-11(c),展开投影体系,注:投影面无限大, 应删除其边线,图2-11(d),物体的三视图,下,左,右,前,后,上,上,下,后,前,左,右,图2-11(e),三视图的投影规律,图2-12,物体三视图的画法,三、点的投影 (一)点的三面投影的形成 (二）点的投影分析 (三）由点的二投影求第三投影 . 例2-2“二求三”的方法 (四）空间点的重建方法 (五）相对坐标 . 相对坐标的定义 . 例2-3利用相对坐标作图 (六）无轴投影 . 无轴投影的定义 . 无轴投影作图,A,a,a,a,X,(a),(b),图2-13 点的三面投影的形成,(二) 点的
4、投影分析 1. 点的投影与坐标的关系 设空间点A的坐标为（x,y,z), 则有： a (x,y) a (x,z) a (y,z) 2. 点的投影规律 aa OZ a a OX aax aza,(三) 由点的二投影求第三投影 1. 点的三投影之间的坐标关系 a(x,z) a(y,z) a(x,y) 2. “二求三”方法 (1) 坐标法 (2) 45辅助线法,O,O,(a) 坐标法,(b) 45辅助线法,图2-14 “二求三”的方法,图2-15,空间点的重建法,(a) 坐标法,(b) 逆投影线法,已知点A的坐标或投影，在大脑中进行,O,图2-16,相对坐标定义,O,图2-17 利用相对坐标作图,已
5、知点A的投影，且知点B在A的左方10、下方15及前方12，试作出点B的投影。,图2-18,无轴投影,从图2-17的作图过程中可以发现，在使用相对坐标作图时，投影轴（图中以双点画线示出）实质上并未起作用，若将其删除，即成无轴投影：,试求出A、B、C各点的第三投影。,图2-19,无轴投影作图,四、直线的投影 （一）直线投影的确定 一般情况下，直线的投影仍为直线。由于两点决定一直线，因而只要作出直线上任意两点（通常为直线段的端点）的投影，并将其同面投影用粗实线连线，即可确定直线的投影。 （二）直线的分类及其投影特性 一般位置直线 直线 投影面的平行线 投影面的垂直线 正平线 正垂线 投影面的平行线
6、水平线 投影面的垂直线 铅垂线 侧平线 侧垂线,特殊位置直线,O,图2-20（a) 直线投影的确定,图2-20(b) 直线投影实例,表2-1,投影面平行线的投影特性,实,例,投,影,图,名,称,水,平,线,正,平,线,侧,平,线,特,性,OX,为斜线,=,为斜线,=,OX,为斜线,=,OY,OZ,OY,OZ,w,H,表2-2,投影面垂直线的投影特性,特,性,图,实,例,投,影,名,称,铅,垂,线,正,垂,线,侧,垂,线,OX,=,=,一个点,一个点,OZ,=,OX,=,一个点,积聚,为,积聚,为,积聚,为,=,OZ,=,OY,OY,H,五、平面的投影 （一）平面的表示法 在立体几何中，确定平面
7、的方式有五种：不在一直线上的三点；直线及线外一点；相交两直线；平行两直线；任意的平面图形。在投影理论中，只需将上述诸方式简单地转换成投影方式，即可实现平面的投影表示。 （二）平面的分类及其投影特性 一般位置平面 平面 投影面的垂直面 投影面的平行面 正垂面 正平面 投影面的垂直面 铅垂面 投影面的平行面 水平面 侧垂面 侧垂面,特殊位置直线,O,O,O,O,O,图2-21,平面的投影表示,S,图2-22 一般位置平面的投影,表2-3,投影面垂直面的投影特性,投,影,图,及,及,及,具有积聚性，,且为一斜线。,具有积聚性，,且为一斜线。,具有积聚性，,且为一斜线。,为缩小,的类似形,为缩小,的类
8、似形,的类似形,为缩小,名称,实,例,铅,垂,正,垂,侧,垂,面,面,面,特,性,表2-4,投影面平行面的投影特性,投,名称,特,性,OY,影,图,实,OX,例,水,平,正,平,侧,平,面,面,面,具有积聚性，,且,具有积聚性，,且,OY,具有积聚性，,且,OZ,具有积聚性，,且,OZ,具有积聚性，,且,具有积聚性，,且,OX,具有保真性,具有保真性,具有保真性,2-2 平面立体的构形及投影表示,二 、平面立体的构形(转AutoCAD),一、AutoCAD2000的空间设计环境 (转AutoCAD),三、平面立体的投影,四、平面立体的投影分析,三、平面立体的投影平面立体的投影实质是关于其表面上
9、点、线、面投影的集合，且以棱边的投影为主要特征，对于可见的棱边，其投影以粗实线表示，反之，则以虚线示之。在投影图中，当多种图线发生重叠时，应以粗实线、虚线、点画线等顺序优先绘制。(一)棱柱的投影棱柱具有这样的投影特点：一个投影反映底面实形，而其余两投影则为矩形或复合矩形。绘图步骤：.画投影图的对称线和中心线（如果有的话）。.画底面的各投影。.添加棱线的各投影。( 二)棱锥的投影棱锥具有这样的投影特点：一个投影为复合多边形，而其余两投影则为三角形或复合三角形。绘图步骤：.画投影图的对称线及中心线。.画锥底的各投影。.作锥顶的各投影。.添加各棱线的投影。,（a） 投影特点,（b） 绘图过程,图2-
10、23 棱柱的投影图,（a） 投影特点,（b） 绘图过程,图2-24 棱锥的投影图,四、平面立体的投影分析无论在空间还是在投影图中，立体与其表面的几何要素的关系都是非常密切的，尤其对平面立体更是如此。探讨几何要素的投影是为了更好地解决立体的投影问题。以下将讨论几何要素间的相对投影特性。(一)直线上的点若KAB,则有： 1.从属性 kab , kab , kab 2.定比性 ak:kb = ak: kb= ak: kb= AK:KB 例2-5 判断点K与直线的相对位置。 （二）两直线的相对位置 （三）平面上的点和直线 （四）直线与平面的相对位置 （五）两平面的相对位置,（a）,（b）,图2-25
11、直线上点的投影,图2-26,判断点是否属于直线,结论： 点K不属于AB直线,(二）两直线的相对位置两直线的基本位置关系有平行、相交、交叉（异面），而垂直则是内含于基本关系中的一种特殊情况。1.两直线平行 平行两直线的同面投影均相互平行。 2.两直线相交 相交两直线的同面投影均相交，且其投影的交点必满足点的投影规 律。 3.两直线交叉 交叉两直线既不满足平行两直线的投影规律，也不满足相交两直线 的规律。 例2-6 判断两直线AB和CD的相对位置。 例2-7 判断两直线和的相对位置。 4.两直线垂直 直角投影定理： 若两直线垂直且其一直线平行于某投影面，则它 们在该投影面上的投影仍然垂直。（证明略
12、）,O,图2-27 平行两直线,O,图2-28 相交两直线,O,1(2),图2-29 交叉两直线,O,图2-30,判断两直线的相对位置,结论： 两直线交叉,O,结论： 两直线交叉,图2-31,判断两直线的相对位置,O,图2-32,一边为水平线的直角的投影,(三）平面上的直线和点1.平面上的直线 直线属于平面应满足下列条件之一： （1）过平面上的两点。 （2）过平面内一点且平行于平面内一直线。 2.平面上的点 若点属于平面内一直线，则该点属于该平面。 例2-8 平面内点线的作图及判断问题。,图2-33,平面上的直线和点,O,O,图2-34,平面上的点、线的作图及判断,已知直线MN属于平面ABC，
13、求MN的正面投影mn；判断点K是否属于平面ABC。,K,AB,(四）直线与平面的相对位置 直线与平面间的基本位置关系有平行和相交，而垂直又是相交的特殊情况。1.直线与平面平行 直线平行于平面的几何条件为：直线平行于平面内一直线。如果直线与投影面的垂直面平行，那么，在相应的投影面上，两者的投影也平行。 2.直线与平面相交 核心问题为求交点。 3.直线与平面垂直 直线垂直于平面的几何条件为：直线同时垂直于平面内相交两直线。如果直线与投影面的垂直面垂直，那么，在相应的投影面上，两者的投影也垂直；而在其它投影面上，该直线的投影应平行于相关的投影轴。,O,图2-35,直线与平面平行,O,图2-36,直线
14、与平面相交,O,图2-37,直线与平面垂直,(五）两平面的相对位置 两平面间的基本位置关系有平行及相交，而垂直则是相交关系的特殊情况。1.两平面平行 两平面平行的几何条件为：一平面上的相交两直线分别平行于另一平面上的相交两直线。如果两平行平面垂直于某一投影面，则它们在该投影面上的积聚投影也平行。 2.两平面相交 核心问题为求交线。 3.两平面垂直 两平面垂直的几何条件为：一平面过另一平面的垂线。如果两平面垂直且同时垂直于某投影面，那么，它们在该投影面上的积聚投影也垂直。,O,图2-38,两平面平行,O,图2-39,两平面相交,O,图2-40,两平面垂直,2-3 回转立体的构形及投影表示,二 、
15、圆柱的构形命令及投影,一、概述,三、圆锥的构形命令及投影,四、圆球的构形命令及投影,一、概述 （一）回转体（面）的形成 （二）有关术语 （三）回转体的构形方法（转AutoCAD） （四）回转面的构形方法（转AutoCAD),（一）回转体（面）的形成,O,O,顶圆,素线,赤道圆,喉圆,纬圆,底圆,母线,轴线,图2-41,回转面的术语,二、圆柱的构形命令及投影 （一）圆柱的形成 （二）圆柱的构形命令（转AutoCAD） （三）投影分析 一个投影为圆，其余二投影均为矩形。规定：回转体对某投影面的转向轮廓线，只能在该投影面上画出，而在其它投影面上则不再画出。 （四）投影绘制 一般应先画出相关的对称轴线
16、及圆的中心线，然后绘制圆投影，最后再绘制其它投影。 （五）表面上定点,（一）圆柱的形成,图2-42,圆柱的投影,图2-43,在圆柱表面上定点,已知圆柱表面上的点M及N正面投影m和n，求它们的其余两投影。,三、圆锥的构形命令及投影 （一）圆锥的形成 （二）圆锥的构形命令（转AutoCAD） （三）投影分析 一个投影为圆，其余二投影均为等腰三角形。 （四）投影绘制 一般应先画出相关的对称轴线及圆的中心线，然后绘制圆投影，最后再绘制其它投影。 （五）表面上定点 1.纬圆法 2.素线法,（二）圆锥的形成,图2-44,圆锥的投影,m,n,已知圆锥表面上点M及N的正面投影m和n，求它们的其余两投影。,图2-45,在圆锥表面上定点,四、圆球的构形命令及投影 （一）圆球的形成 （二）圆球的构形命令（转AutoCAD） （三）投影分析 三投影均为圆，且直径等于球的直径。 （四）投影绘制 一般应先画出相关的中心线，然后绘制圆投影。 （五）表面上定点 方法：纬圆法,（三）圆球的形成,2,3,3,1,2,2,1,2,3,1,1,图2-46,圆球的投影,m,图2-47,在圆球表面上定点,已知圆球表面上点M的正面投影m，求它的其余两投影。,本 章 结 束,
