1、图的嵌入分布单峰点位置的探讨,什么是图的嵌入,闭曲面一个紧的，连通的，2-维无界的闭流形,图的嵌入的定义,一个图G在曲面S上的一个嵌入是指存在一个1-1连续映射 ，使得 的每一个连通分支均为一个2-胞腔 。,自然的问题,(1)图所能嵌入的曲面是多少,有什么样的性质？ (2)图在所给定的曲面上有多少不同的嵌入？,问题一的回答,图能嵌入到最小亏格至最大亏格的任意一个曲面上. Edmons, 可定向情形Saul Stahl, Ringel et. 不可定向情形,图的最大亏格已经完美的解决,刘彦佩-R. Ringel -Saul Stahl (不可定向最大亏格示性定理) Xuong 刘彦佩-Juger
2、man (可定向最大亏格示性定理)陈建二，黄元秋,李德明,任韩 等,图的平均亏格的概念,如果我们令离散型随机变量X的取值为最小亏格到最大亏格之间的整数，它的概率为所嵌入曲面数除以总的嵌入数，则X的数学期望就称为图的平均亏格. 其中不可定向平均亏格的最优界已经得到目前可定向平均亏格的界仍然值得研究,序列的单峰性及单峰点如果存在一个整数 ,使当 时，有 当 时，有 , 则非负序列 称为单峰的.如果有 使 及 成立，则称 为 的单峰点。,是强单峰的，当且仅当 是单峰的而且对所有 总成立1987年，Gross, Furst等得到了梯图等的嵌入分布，并且证明了它们的单峰性. 图的嵌入分布单峰性质表明图在
3、不同曲面上的嵌入数目存在着一定的规律。,1994年Stahl 对可定向情形提出比强单峰性更强的猜想:亏格多项式的根是实根.刘莉,王毅等作为一个附带的应用利用Stahl文中一个计算错误的例子否定了上述猜想,后来我们对这进行了更正,之后我们找到了一系列的反例.,于是我们进一步的提出下一个问题,如果嵌入分布的单峰性猜想成立的话,那么它的单峰点的位置究竟在那里.下面介绍我所做的工作.,仙人掌图的单峰点位置,定理: (Y. Chen Y. Liu T.Wang)仙人掌图的不可定向嵌入多项式为:,仙人掌图的不可定向平均亏格,仙人掌图的嵌入分布的单峰点位置,定理二: (J. Chen J. Gross)项链图的嵌入分布序列 为强单峰的,其中 满足如下的关系：,项链图的平均亏格,项链图的单峰性证明,因此:,下面证明,所以项链图为强单峰的.,单峰点的位置,由于序列 具有单峰性，故一定存在N ,使得 且 。其中 就是该序列的单峰点。利用这一性质,可以计算得如下结果：,项链图的嵌入分布的单峰点位置,难道这是一个巧合吗,如果单峰性猜想成立,那么它的单峰点跟是否就为平均亏格的上取整或下取整?,谢谢各位!,
