1、1联合密度函数的性质2 篇以下是网友分享的关于联合密度函数的性质的资料 2 篇，希望对您有所帮助，就爱阅读感谢您的支持。第一篇第 16 卷第 5 期 淮阴工学院学报 Vol . 16No . 52007 年 10 月 Journal of Huaiyin I nstitute of Technol ogy Oct . 2007t 分布密度函数之性质王 娟(江苏经贸职业技术学院信息技术系, 南京 211168)摘 要:, 比较详细的分析了 t 分布密度函数之性质。指出了该密度函数与相应参数之间的变化关系。主要研究了参数 n 的变化对密度函数的影响 , 证明了当 n 增大时 t (n ) 分布的密
2、度函数的极大值也越来越大, 还指出了 n 变化时 t 2(n ) 分布的相应密度曲线与另一特定密度曲线交点的变化规律。关键词:t 分布; 密度函数; 函数中图分类号:O211. 3 文献标识码:A 文章编号:1009-7961(2007) 05-0015-07Som e Properti es of the T D istr i buti on D en sity Functi onWANG Juan(Depart m ent of I nfor mati on J iangsu I nstitute of Econom ic and Trade ogy, )Abstract:This pap
3、er , by using the l ogarithm ic functi on , of t dis 2tributi on density functi on in detail, and the n on density curve, and pointed out the p r operties of maxi m u m on, and the relati on of different functi on ac 2cording t o Key words:t density functi on; ga mma distributi on0 引 言t 分布是一种重要的概率密度
4、分布类型, 参数为 n 的 t 分布通常用 t (n ) 来表示, 其密度函数为 f n (x ) =) 2-2(1+) (其中 n 为参数, x R, 表示 函数) n ) n2 本文约定 t 分布的密度函数为上式。引理 1:对于确定的 n, f n (x ) 在区间(-, 0) 上单调递增, 在(0, +) 上单调递减, 在(-, ) 上有唯一的极大值。 3)n2x (-, )supf n (x ) =f n (x ) |x =0=(1)2-1证明:令 g (x ) =(1+) 2, g (x ) =-x (1+) 2, 令 g (x ) =0, 从而 x =0。n n ng (x ) |
5、x =0=-2收稿日期:2007-05-04作者简介:王娟(1981-) , 女, 江苏淮安人 , 助教, 硕士, 主要从事概率论与数理统计方面的研究。16 淮阴工学院学报 2007 年f n (x ) =)n4g (x ) ; f =n (x ) )ng (x ) , 故 x =0 也是 f n (x ) 的极大值点, 并且:)22当 x (-, 0) 时, f 0, 当 x (0, +) 时, f n (x ) n supf n (x ) =f n (x ) |x =0=)nx (-, )2)以下讨论参数 n 对密度函数的影响和不同参数所对应的概率密度曲线之间的关系。先引进公式:(z )
6、=ln (z ) =li lnk - dzk z+z +1+z +, z (0, ) (2)5记 M (n ) =supf n (x ) =f n (x ) |x =0=x (-, ) n引理, n =)2) n 2, m 0, 2,Q (m , n ) 在(0, +) 上为 n 的严格递增函数,在(0, ) 上为 n 的严格递减函数。特别地 , 当 m =1 时, Q (1, n ) 为 n 的严格递增函数,5n 为 n 的严格减函数。n 证明:Q (m , n ) 关于 n 的连续性, 显然, 且q (m , n ) =li =n n +n +2k +n +-m +n+6m +n +2+m
7、 +n +-2n(3)又 q (m , n ) 为(0, ) (0, ) 上连续函数, 且(4) q (0, n ) =q (2, n ) =0 n (0, )(5) q (m , n ) =li -+222k m 2n (m +n ) (m +n +2) (m +n +2k )(由罗尔定理和(4) 知 m (n ) :0m m(的严格递减函数, 从而 q m , n ) 0, 0m m于 n (0, ) , q (m , n ) 0, m (0, 2) 成立; 由(3) 得到 m (0, 2) , lnQ (m , n ) 0, 从而 mn(0, 2) , lnQ (m , n ) 为 n
8、的严格递增函数 , 则对于 m (0, 2) , Q (m , n ) 也为 n 的严格递增函数。)特别地:当 m =1 时 , Q (1, n ) =为 n 的严格递增函数。) n 272第 5 期 王 娟:t 分布密度函数之性质 17下证为 n 严格减函数。n2设 p (m , n ) =q (m , n ) =2lnQ (m , n )5n 5n=li +k (6)+22+2() () n n +2n +2k(m +n )2+(m +n +2)2+(m +n +2k )22n 28(7)又 p (0, n ) =p (2, n ) =0 n (0, )(由罗尔定理和(7) 知 m 1(n
9、 ) , 0m(p m , n ) =li 2 m 0, 2,n (0, +333k m (m +n ) (m +n +2) (m +n +2k ) 2n ) 为 m 的严格增函数 , 因此:(0m 5m 再由 (7) 知, m (0, 2) , p (m , n ) 0 特别地, 当 m =1 时, p (15n 5n21 定理 1:ln M (n ) , 2ln M (n ) 在区域 n (0, +) 内处处连续, 且有:ln M (n ) 0, 2ln M (n ) n n 5n 5n22即 M (n ) 是 n 的严格递增函数 , 且其增长速度随 n 的增大而减小。用数学语言描述为:0
10、0, 下式成立1, ) M (n ) M (n ) M (n 证明:由 M (n ) 的表达式我们有:ln M (n ) n=li =29nk +n +2+n +-n +1+n +3+n +2K +-2nlnQ (1, n ) nM (n ) 2ln 5n=li 2k -+22+2(n +2) (n +2k ) n(n +1)2+(n +3)2+(n +2K +1)102-22n=2lnQ (1, n ) 5n显然 ln M (n ) , 2ln M (n ) 在(0, +) 内连续, 又由引理 2知 ln M (n ) 0. 2ln M (n ) n n 5n 5n2218 淮阴工学院学报 2007 年M (n ) 为 n 的严格增函数,ln M (n ) 为 n 的严格递减函数。n故对于 00, M (n +n ) -M (n ) 0ln()=ln M (n +n ) -ln M (n )M (n )nn +nln M (t ) dt nn
