1、13.2 立体几何中的向量方法 (二) 利用向量方法求角知识点一 求异面直线所成的角已知平行六面体 ABCDA1B1C1D1 的所有棱长都是 1，且A 1ABA 1ADBAD 60，E、F 分别为 A1B1 与 BB1 的中点，求异面直线 BE 与CF 所成角的余弦值解 如图所示，解 如图所示，设 = a， = b， = c.ABD1A则| a | = | b | = | c | =1， a,b=b,c=a,c= 60,ab = bc = ac = ，2而 = + = a + c.BE11 = + = b + c,CF| | ，| | .BE14|a|2 |c|2 ac 32 CF32 CF(
2、 12a c)( b 12c) ab acb c c2 ，12 14 12 18cos ， = , BECF162异面直线 BE 与 CF 夹角的余弦 值是 .16【反思感悟】 在解决立体几何中两异面直线所成角的问题时，首选向量法，利用向量求解若能构建空间直角坐标系，求解则更为简捷方便. 正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F 分别是 A1D1、A 1C1 的中点求：异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦值解 不妨设正方体棱长为 2，分 别取 DA、DC、DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则 A(2,0,0)、C(0,2,0)、E(1,0,2)、F(1
3、,1,2)，由 (1,0,2)，AE(1，1,2)，得| | ，| | .CF5 CF6 1043.又 = | | |cos , AEAE= cos , ,3CFcos , = ,301异面直线 AE 与 CF 所成角的余弦 值为 301知识点二 求线面角正三棱柱 ABCA1B1C1 的底面边长为 a，侧棱长为 a，求 AC1 与侧面2ABB1A1 所成的角解 方法一 建立如图所示的空间直角坐标系， 则 A(0,0,0)，B(0，a,0)，A1(0,0， a)，C1 ，取 A1B1 中点 M，则 M ，连结 AM、MC1，有2 ( 32a，a2，2a) (0，a2，2a)3 ， (0，a,0)
4、， (0,0 ， a)，1MC( 32a，0，0) AB12由于 = 0， = 0，1MCMC1面 ABB1A1.C1AM 是 AC1与侧面 A1B 所成的角 . = , ，1( 32a，a2，2a) (0，a2，2a) 0 2a 2 .1ACMa24 9a24而| | a，13a24 a24 2a2 3| | a，Aa24 2a2 32cos , .1CM9a243a3a2 32 ， 30，A即 AC1 与侧面 AB1 所成的角为 30.方法二 (法向量法)( 接方法一 )(0,0， a)， (0， a,0)，1,2 B设侧面 A1B 的法向量 n(，x，y)n 0 且 n 0AA1 ax0
5、，且 ay0.2xy0，故 n(，0,0) ，1AC( 32a，a2，2a)cos , n .1132aAC设所求线面角为 ，则 sin |cos. ，n| ，30.1124【反思感悟】 】 充分利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量有关知识求解线面角方法二给出了一般的方法，先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算如图所示，已知直角梯形 ABCD，其中 ABBC2AD，AS平面ABCD，AD BC，ABBC，且 ASAB.求直线 SC 与底面 ABCD 的夹角 的余弦解 由题设条件知，可建立以 AD 为 x 轴， AB 为 y 轴，AS 为 z 轴的空间直角坐标系(如图所示) 设 A
6、B1，则 A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)，D ，S(0,0,1)(12，0，0) (0,0,1)， ( 1，1,1)ASCS 是底面的法向量，它与已知向量 是底面的法向量，CS 它与已知向量 的夹角 90，故有 sincos ，CS AS CS |AS |CS | 113 33于是 cos .1 sin263知识点三 求二面角如图，四棱锥 PABCD 中，PB底面 ABCD，CDPD，底面 ABCD 为直角梯形，ADBC ，AB BC，ABADPB 3.点 E 在棱 PA 上，且 PE2EA. 求二面角ABED 的余弦值解 以 B 为原点，以 BC、BA、BP 分别为 x
7、，y，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系设平面 EBD 的一个法向量为 n1(x ，y,1)，因为 (0,2,1)， (3,3,0)，EBD 5由 得Error!，10,nBED所以Error! ， 于是 n1( ， ，1)12 12又因为平面 ABE 的一个法向量为n2(1,0,0)，所以，cosn 1，n2 .16 66所以，二面角 ABED 的余弦值为 .66【反思感悟】 几何法求二面角，往往需要作出平面角，这是几何中一大难点，而用向量法求解二面角无需作出二面角的平面角，只需求出平面的法向量，经过简单运算即可，从而体现了空间向量的巨大作用若 PA平面 ABC，ACBC，PAAC1，BC
8、，求二面角 A2PBC 的余弦值解 如图所示，建立空间直角坐标 系， 则A(0,0,0)，B( ，1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，2(0,0,1)， ( ，0,0)， (0，1,1)，APB2 CP 设平面 PAB 的法向量 为 m(x，y， z)则 0,mError! Error!，令 x1，则 m(1， ，0)2设平面 PBC 的法向量为 n(x，y， z)，则6 Error! Error!.0,nCBP令 y1，则 n(0 ，1，1) cosm，n .mn|m|n| 33二面角 APBC 的余弦值为 .33课堂小结：1两条异面直线所成角的求法(1)向量求法：设直线 a、b
9、的方向向量为 a、b，其夹角为 ，则有 cos|cos| .|ab|a|b|(2)两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角2直线与平面所成角的求法设直线 l 的方向向量为 a，平面的法向量为 u，直线与平面所成的角为 ，a 与 u 的夹角为 ，则有sin|cos| 或 cossin.|au|a|u|3二面角的求法与 的夹角(如图所示 )ABCD (2)设 n1、n 2是二面角 l 的两个面 、 的法向量，则向量 n1与 n2的夹角(或其补角) 就是二面角的平面角的大小( 如图所示)一、选择题1若直
10、线 l1 的方向向量与 l2 的方向向量的夹角是 150，则 l1 与 l2 这两条异面直线所成的角等于( )A30 B150C30或 150 D以上均错答案 A2若直线 l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于 150，则直线 l 与平面 所成的角等于( )A30 B607C150 D以上均错答案 B3直角三角形 ABC 的斜边 AB 在平面 内，直角顶点 C 在 内的射影是 C，则ABC是( )A直角三角形 B钝角三角形C锐角三角形 D各种情况都有可能答案 B解析 0 = = （ + ）（ + ）CCACB=| |2+ .AB = | |2 0,因 A，B，C 不共线，故 ACB 为钝角.
11、 4如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N，P 分别是棱 CC1，BC ，A 1B1上的点，若B 1MN90 ，则PMN 的大小是( )A等于 90 B小于 90C大于 90 D不确定答案 A解析 A 1B1平面 BCC1B1，故 A1B1MN ， ( )MPMN MB1 B1P MN = 0，1MN B1P MN MP MN，即PMN90.5在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平面 A1ED 与平面 ABCD所成的锐二面角的余弦值为( )A. B. C. D.12 23 33 22答案 B二、填空题6若两个平面 ， 的法向量分别是 n(1,
12、0,1)，(1,1,0)则这两个平面所成的锐二面角的度数是_答案 60解析 cosn， .n ，120. 12 2 127正方体 ABCDA1B1C1D1 中，M，N 分别是 DD1，B 1C1 的中点，P 是棱 AB 上的8动点，则 A1M 与 PN 所成的角是_答案 90解析 设正方体每边之长为 1，因11AMD= ，112D1D ，PNBBB1 12B1C1 1AM(A1D1 12D1D ) 112PBC= 0，112B1C1 12D1D BB1 12 12 ,即 A1M 与 PN 所成的角为 90.PN三、解答题8已知正四棱锥 SABCD 的侧棱长为 ，底面的边长为 ，E 是 SA 的
13、中点，求异2 3面直线 BE 和 SC 所成的角解 建立如图所示空间直角坐标系由于 AB ，SA ，3 2可以求得 SO .则22B ，A ，(32，32，0) ( 32， 32，0)C ，S .( 32，32，0) (0，0，22)由于 E 为 SA 的中点，9所以 E ，(34， 34，24)所以 ，B( 34， 334，24) ，SC( 32，32， 22)因为 1，E| | ，| | ，B2 2所以 cos ， ，SC 122 12所以 ， 120.E所以异面直线 BE 与 SC 所成的角 为 60.9如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，已知AB4， AD3，AA 12，
14、E、F 分别是线段 AB、BC 上的点，且 EBFB1，(1)求二面角 CDEC1 的正切值；(2)求直线 EC1 与 FD1 所成角的余弦值解 (1)以 A 为原点，AB、AD、AA 1 分别为 x 轴、y 轴、 z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有 D(0,3,0)，D1(0,3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)，于是 =（3, 3，0）， =（1，3，2）， =（ 4，2，2）.EEFD设平面 C1DE 的法向量为 n=（x，y，z）.则 n ， n 13x 3y=0,x+3y+2z=0.x=y= z.令 z = 2,则 n(1，1,2)向量 (0,0,2
15、) 是平面 CDE 的一个法向量，A10n 与向量 所成的角 为二面角 CDEC1 的平面角1Acos tan .16,3|22(2)设 EC1 与 FD1 所成角的为 ，则 cos= .211410正三棱锥 OABC 的三条侧棱 OA、OB、OC 两两垂直，且长度均为 2.E、F 分别是 AB、 AC 的中点，H 是 EF 的中点，过 EF 的一个平面与侧棱 OA、OB、OC 或其延长线分别相交于 A1、B 1、C 1，已知 OA1 .32(1)求证：B 1C1平面 OAH；(2)求二面角 OA1B1C1 的余弦值 (1)证明 如图所示，以直 线 OA、OC、OB 分别为 x、y、z 轴 的正方向，建立空 间直角坐标系 Oxyz，则A(2,0,0)，B(0,0,2)，C(0,2,0)，E(1,0,1)，F(1,1,0)，H ，(1，12，12) ， ，AH( 1，12，12) OH (1，12，12)(0,2，2)，所以 0， 0，BCABCOH 所以 BC平面 OAH.由 EFBC，得 B1C1BC，故 B1C1平面 OAH.(2)解 由已知 A1 ，设 B1(0,0，z)，(32，0，0)则 =（ ，0，1）， =（ 1，0，z 1），1EE由 与 共线得：存在 R 使 = ，AEB得Error! Error!
