1、智浪教育-普惠英才文库1江苏高中数学竞赛一选择题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分)1. 函数 的图像按向量 平移后 , 得到的图像的解析式为()yfx(,24a. 那么 的解析式为 B sin()24yx()fA. B. C. D. cosyxsinyxcos4yx2. 如果二次方程 N*) 的正根小于 3, 那么这样的二次方程有 C 20(,pqA. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个3. 设 , 那么 的最小值是 C ab21()abA. 2 B. 3 C. 4 D. 54. 设四棱锥 的底面不是平行四边形, 用平面 去截此四棱锥, 使得PABCD截面四边形是平行四边
2、形, 则这样的平面 D A. 不存在 B. 只有 1 个 C. 恰有 4 个 D. 有无数多个5. 设数列 : , N*, 则 被 na01212,6,63nnnaa205a64 除的余数为 C A. 0 B. 2 C. 16 D. 486. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1 1 m 的整块地砖来铺设(每块地砖2都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同拼色方法有答: D A. 个 B. 个 C. 个 D. 个8307302573027302二填空题 (本题满分 36 分, 每小题 6 分)7. 设向量 绕点 逆时针旋转 得向
3、量 , 且 , 则OAOB(9)AB向量 （ ， ） .B1152358. 设无穷数列 的各项都是正数, 是它的前 项之和, 对于任意正整数 nanS, 与 2 的等差中项等于 与 2 的等比中项, 则该数列的通项公式为 an= 4n2 naS(nN* ) .9. 函数 R) 的最小值是 .xxy(|2cos| 22智浪教育-普惠英才文库210. 在长方体 中, , 点 、 、1ABCD12,ABDEFG分别是棱 、 与 的中点, 那么四面体 的体积是 V 1 FG B1 EFG= .3811. 由三个数字 、 、 组成的 位数中, 、 、 都至少出现 次, 这样的 12351231位数共有
4、150 个.512. 已知平面上两个点集 R, 2(,)|(),MxyxyR. 若 , 则 的取值范围是(,)|1|,NxyayNa1 ，3+ 6 10三解答题 (第一题、第二题各 15 分；第三题、第四题各 24 分)13. 已知点 是 的中线 上的一点, 直线 交边 于点MABCDBMAC, 且 是 的外接圆的切线, 设 , 试求 (用 表示).NABNBCN证明：在 中，由 Menelaus 定理得1C因为 ，所以D 6 分BMAN由 ，知 ，则ACBCB所以， ， 即 12 分2N2NA因此， 又 ， 故 2BCMBC2BMN 15 分14. 求所有使得下列命题成立的正整数 : 对于任
5、意实数 , (2)n12,nx当 时, 总有 ( 其中 ).10nix10nix1nxAB CD NM智浪教育-普惠英才文库3解： 当 时，由 ，得 2n120x21210xx所以 时命题成立. 3 分当 时，由 ，得3123.22131231()()xxx2213()0x所以 时命题成立. 6 分n当 时，由 ，得412340xx2123413244()()0x xx所以 时命题成立 9 分4n当 时，令 ， ， , 则 .512x4x350nx 10nix但是, ，故对于 命题不成立10nix5n综上可知，使命题成立的自然数是 . 15 分2,3415. 设椭圆的方程为 , 线段 是过左焦
6、点 且不与 21(0)xyabPQF轴垂直的焦点弦. 若在左准线上存在点 , x R使 为正三角形, 求椭圆的离心率 PQRe的取值范围, 并用 表示直线 的斜率. ePQ解： 如图, 设线段 的中点为 M过点 、 、 分别作准线的垂线, 垂足PM分别为 、 、 , 则Q 6 分11|(|)()222PFQPee假设存在点 ，则 ， 且 ， 即 R3|MR，|2PQePM MFR P QO xyQ智浪教育-普惠英才文库4所以， 于是， ， 故3e ePQeRM31|2|cos 21t3若 (如图)，则|PFQ. 1813cottanta 2eRMFxk分当 时, 过点 作斜率为 的焦点弦 ,
7、它的中垂线交左准线3e213ePQ于 , 由上述运算知, 故 为正三角形. 21 分R|RMPQR若 ，则由对称性得|PFQ 24 分213PQke又 , 所以，椭圆 的离心率 的取值范围是1e2(0)xyabe， 直线 的斜率为 3(,)P213e16. (1) 若 N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2005, 求 的(nn最小值, 并说明理由；(2) 若 N*) 个棱长为正整数的正方体的体积之和等于 2002 , 求 的( 205最小值, 并说明理由.解： (1) 因为 , 333310,1,178,197，331205故 .n因为 ，所以存在 ， 使331728527154n
8、若 ，因 , 则最大的正方体边长只能为 或 ，min43012智浪教育-普惠英才文库5计算 ，而 与 均不是完全立方数, 所以 332051674,205176427不可能是 的最小值.nn若 ，设此三个正方体中最大一个的棱长为 , 由 , 知x328053最大的正方体棱长只能为 、 、 或 . 9102由于 , , , 所以 .320554723890339x由于 , , , 65104, 所以 .71331x由于 , , , 205862305706233所以 .x由于 , , 所以 . 31331521x因此 不可能是 的最小值.nn综上所述， 才是 的最小值. 12 分4(2) 设 个
9、正方体的棱长分别是 ， 则 12,nx 330512nx由 ， ，得 204(mod9)(od9) 15 分5206831684(mod9)又当 N* 时， ，所以 x,()x， ， . 31 4(od9)312 3312x 4(mod9) 21分 式模 , 由 、 可知, 94n而 ，则 3320115204368333()(20)(101) 24 分68368 68() 2因此 为所求的最小值n智浪教育-普惠英才文库62008 年一、选择题（本题满分 30 分，每小题 6 分）1. 如果实数 m，n，x，y 满足 ， ，其中 a，b 为常数，那an2yx2么 mx+ny 最大值为答：BA.
10、 B. C. D. 2baab2b22. 设 为指数函数 . 在 P(1,1)，Q(1,2)，M(2,3) ， 四点中，)(xfyxy 41,N函数 与其反函数 的图像的公共点只可能是点 )(xfy)(1xfy答：DA. P B. Q C. M D. N3. 在如图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么 的值为 zyx答：AA. 1 B. 2C. 3 D. 44. 如果 的三个内角的余弦值分别是 的三个内角的正弦值，那么1CBA2CBA答：BA. 与 都是锐角三角形12B. 是锐角三角形， 是钝角三角形2C. 是钝角三角形， 是锐角三角形1CBACBAD.
11、 与 都是钝角三角形25. 设 a，b 是夹角为 30的异面直线，则满足条件“ ， ，且 ”ab的平面 ， 答： D1 20.5 1xyz智浪教育-普惠英才文库7A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对二、填空题（本题满分 50 分，每小题 10 分）6. 设集合 ，其中符号 表示不大于 x 的最大整222xBxA和 x数，则. 3,1B7. 同时投掷三颗骰子，于少有一颗骰子掷出 6 点的概率是 (既约分数）.219P8. 已知点 O 在 内部， . 的面积之比为ABC02OCBCBA与5：1.9. 与圆 外切，且与 y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为042xy或)0
12、(82xy.10. 在 中，若 tanAtanB=tanAtanC+tanctanB，则 = 3 . ABC 2cba三、解答题（本题满分 70 分，各小题分别为 15 分、15 分、20 分、20 分）11. 已知函数 在 时有最大值 1， ，并且cbxxf2)(1nm0时， 的取值范围为 . 试求 m， n 的值.nmx,f n,1解 由题 ，)(2)xf， ，即 ， 上单调减，1)(xf 1nxf,)(在且 . mm)22n12，n 是方程 的两个解，方程即xxf1)(=0，)2智浪教育-普惠英才文库8解方程，得解为 1， ， .231， ， . nm1n12. A、B 为双曲线 上的两
13、个动点，满足 。1942yx 0OBA（）求证： 为定值；221OB（）动点 P 在线段 AB 上，满足 ，求证：点 P 在定圆上.0ABP证 （）设点 A 的坐标为 ，B 的坐标为 ，)sin,co(r )sin,co(r则 ，Or，A 在双曲线上，则B.19sin4co22r所以. 9sin4co122r由 得 ，所以 ， .0OBAB22i 22sinco同理，9s4sin9i4cos12222r所以.36511| 222rOBA（）由三角形面积公式，得 ，所以OBAP，即 .22BOP 222智浪教育-普惠英才文库9即 .1365914122222 OPPOBAP于是， .5362即
14、P 在以 O 为圆心、 为半径的定圆上. 15 分13. 如图，平面 M、N 相交于直线 l. A、D 为 l 上两点，射线 DB 在平面 M 内，射线DC 在平面 N 内. 已知 ， ， ，且 ， ， BCCDA都是锐角. 求二面角 的平面角的余弦值（用 ， ， 的三角函数值l表示）.解 在平面 M 中，过 A 作 DA 的垂线，交射线 DB 于 B 点；在平面 N 中，过 A 作 DA 的垂线，交射线 DC 于 C 点.设 DA=1，则， ，tanABcos1D， ， C5 分并且 就是二面角 平面角. BANlM10 分在 中，利用余弦定理，可得等式CD与 costan2tantcoss
15、2co1s 222 BC，智浪教育-普惠英才文库10所以， coss2co1stantcostan2 2222 = ， cos)(15 分故得到. sincocos20 分14. 能否将下列数组中的数填入 33 的方格表，每个小方格中填一个数，使得每行、每列、两条对角线上的 3 个数的乘积都相等？若能，请给出一种填法；若不能，请给予证明.（）2,4,6,8,12,18,24,36,48；（）2,4,6,8,12,18,24,36,72.解（）不能. 5 分因为若每行的积都相等，则 9 个数的积是立方数. 但是24681218243648=21+2+1+3+2+1+3+2+43 =21938 不是立方数，12故不能.（）可以. 15 分如右表表中每行、每列及对角线的积都是 2623. 20 分36 2 248 12 186 72 4
