1、函数问题求解思想方法渭南高级中学 孙兴运关键词：抽象函数 具体函数 函数性质 周期性 对称性 奇偶性 单调性 题型 方法 思想 内容摘要：函数部分知识是高中数学基础，函数与方程思想也是数学解题中重要思想之一。常见函数类型有抽象函数、具体函数，解决问题主要利用函数性质，结合等价转化思想逻辑理思想等，其中抽象函数问题的解决办法尤为突出。关于函数问题求解的思想方法，文中举例给予说明。函数问题求解思想方法函数部分知识是高中数学基础，也是高考命题重点之一，其函数与方程思想是数学解题中的重要思想之一。故有“函数乃高中数学之纲”说法。 一、 函数部分考察题型1、抽象函数：即解析式不明确的函数，研究函数性质及
2、性质应用主要着手于函数定义域，周期性、对称性（奇偶性） 、单调性，往往单调性为其性质归宿，周期性、对称性为单调性研究铺垫。2、具体函数：即有明确解析式的函数，常见的类型有(1)、多项式函数：( 高次幂函数) + 形式，)(xf0anxa.1多从函数奇偶性、单调性入手，关注到函数与方程思想，常涉及求导函数或因式分解方法应用。(2)、一元二次函数：如 常涉及参变量讨)(xf )0(2acbx论问题，主要从函数对称轴位置，开口方向，对应方程根位置，开口方向，对应方程根位置，顶点，韦达定理等知识入手，属于较常见问题类型，多用数形结合思想。(3)、分段函数：需注意函数在其定义域内各个区间上解析式不同之处
3、，着重考察函数连续性，单调性，周期性，常用自变量转化思想求不同区间上解析式。(4)、条件函数：包括分式函数|、对数函数，偶次根式函数，此类函数必须坚持“定义域优先”原则。二、函数性质研究及常见方法：1、周期性：方法技巧(1)、定义法： ， )(xfTf)()axff特征：函数值相等，自变量之差为常数，即其周期。(2)、递退法： )()(xfaxfT2= f)(1fa)(xfaxfT22、对称性：方法技巧(1)、赋值法：多见于隐型函数，涉及两个(多个) 自变量的形式.(2)、轴对称： ， )()(xaff)2()xaff对称轴均为特征：函数值相等，自变量之和为常数。特别：正余弦函数，对称轴位置即
4、函数取最值时自变量位置正余弦函数，对称轴即其渐近线(3)、中心对称：由于函数 关于点 对称函数为)(xfy),(ba，若函数本身图像关于点 中心对称，则)2(xafyb解析式与 相同可求出对称中心)(xfy ),(3、单调性：方法技巧(1)、定义法：设函数定义域内两自变量 ，作差 1x2)(1xf)(2xf并判断其正负 ，稍麻烦。(2)、推理法：利用函数周期性、对称性、判断其在某区间上的单调性（常用简图）(3)、导数法：函数在某区间 上可导，利用导函数正负判断单),(ba调性，多用于具体函数。(4)、复合法：在某区间上， 递增， 递增，则 递)(xf)(xg)(xgf增等。三、函数类问题解题思
5、想：遇函数类问题，首先注意定义域，再关注其周期性、对称性、单调性，最后要注意每个函数个性特征，利用函数性质解决问题是至关重要的思想，常辅助以换元法，数形结合法等价转化思想，逻辑推理思想，多注意其由形到意的思考，注重与其他知识点结合。四、举例说明：1、设 是定义在实数集 R 上的函数，其中 ，且对任意)(xf 1)0(f实数 、 都有 ，则 解析式可能是（ ab)12()(bafax）A、 B、)(xf12)(xf12C、 D、x本题是赋值法的典型应用，充分利用已知 ，令 ，则)0(fab)1()0(bfa即： 即：)0(fa)(af12 选 A)(xf22、设函数 满足 且当 2 时， 是增函
6、数，则)4()xff)(xf， ， 大小关系是（ ）)1.(90fa)9.(1fb)(log421fcA、 B、 C、 D、 baacbcba本题由 可知 对称轴为 . 2 时， 为增)4()xff)(fx)(xf函数，则 2 时， 为减函数，三个自变量， 、 、x 9.011.均小于，其中 。421log421log利用“媒介法”可知 1.9.09.01. 选 D)(log421f)9.0(1f).(f3、 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数，且 ，则方程)(xf )1(f0在区间 内解的个数最小值是（ ）)6,(由已知可得 )()(xff)(3(xff 0)(f 0101 31)2(
7、f)(f )4(f 33 020)5(f至少有 5 个根4、已知偶函数 满足条件 ，且当 时，)(xy)1()(xff 0,1x，则 值为（ ）93)(xflog531fA、 B、 C、 D、42945101本题所求 中自变量 需转化为（利用)(log531f 31log31l,2已知条件）在区间 上方有解析式。由 可知0,1 )1()(xff周期 ，)(xf2T )(log531f)log(59f)(l593f 又由偶函数性质)(l59f,0选 Dlog3f)l593f)(log593f94l535、函数 是偶函数，则函数 的对称轴是（ ）12(xfy )2(xfyA、 B、 C、 D、01
8、x1解：由 为偶函数可知对称轴为 ，由 )(xfy 0x转化为 是将函数图像向左平移了 个单位，)21(xfy2(f 2的对称轴为 1x6、 （2004）已知函数 是奇函数，当 时， ，设)(fy0x13)(xf反函数 ，则 （ ）)(xf)(xgy8解： 设 ，则a8)(f 时 0x013xa0由 为奇函数，设 ，则 )(f 0)(13xfx 时 若0381a则 9a27、 （2004）设函数 为奇函数， ，)(xfR21)(f，则 （ ）)(2(xff5A、0 B、1 C、 D、5解：本题突破口在于求 )2(f 1)(1(xff )()ff 12(f )2)5(ff)1258、已知函数 1
9、)()(xmexf(1)、 时，求 最小值。0f(2)、若 ，求证： xyyxe)1()(ymx解： 时， 为增函数， 为增1)(ef ,0e1x函数 在 上为增函数)(xf),0 f 在 上位增函数)(xf), 0f证明：由 可知 即)(x1)(xme)0(利用换元思想)1ex则 yyx )( )1(1ymxyxm 1yxe)1()(ymx本题特征:(1)、 正负需考察 单调性，求值域。f )(xf(2)、证明不等式时需用第一问结论9、(2002 北京 22)已知 是定义在 上的不恒为零的函数，且)(xfR对于任意 、 都满足ab)(abfa(1)、求 、 的值。)0(f1f(2)、判断 的奇偶性，并证明你的结论。x(3)、 ， ，求数例 前 项和2)(fnfU)2(NnUnS解：(1) 、赋值法：令 可得0ba0)(0)(fff可得1121 )(f(2)、 为奇函数x证明：因 0)1()1()2fff 01(f)()()() xfxffxf 为奇函数(xf(3)、当 时， 令0abafbfaf)()( xfg)(则 故)(gg ng )()(1fnafn 2)1(2fUn 2)(f 0)2(1)2()1fff (41f 1)2nnUN引用文献资料：1 薛金星著 北京教育出版社2 张延良著 首都师范大学出版社3 朱华伟著 湖北教育出版社4 王正林著 新时代出版社
