1、专业代码：070101 学 号：090704010064贵 州 师 范 大 学（本 科）毕 业 论 文题 目：函数最值问题常见的求法学 院：数学与计算机科学学院专 业：数学与应用数学2函数最值问题常见的求法摘要：最值问题是中学数学中一类综合性很强的问题，它涉及的数学知识、方法、思想较多。本文从函数最大值和最小值的概念出发，探索了求函数最值诸多方法，并对最值求解过程中需要注意的一些问题进行说明。通过对求最值的多种方法的分析、讨论，让大家意识到部分最值问题与实际问题密不可分，了解求最值常用的思想方法，能够更好更快掌握求最值的方法。关键词:最值；函数；最小值；最大值；解法Method of the
2、function the maximum or minimum value problems commonMa LingjuanAbstract: the maximum or minimum value problems in middle school math is a comprehensive issues, it involves mathematical knowledge, methods, thinking more. This article from the maximum and minimum values of the function concept explor
3、es the seek function to the value of ten ways, and most needed attention in the course of solving problems is described. Seeking best value through to a variety of methods of analysis, discussion, and make you aware of some of the the maximum or minimum value and practical issues are inseparable, un
4、derstand the seeking of the most commonly used way of thinking, to better master the methods of seeking best value faster.Key words: value; functions; minimum value maximum value method 3目录1最值的概念 .41.1最大值 .41.2最小值 .42最值的求法 .42.1配方法 .42.2导数法 .52.3不等式法 .72.4函数的单调性法 .82.5换元法 .92.6线性规划法 .92.7. 数形结合法（图象法
5、） .112.8判别式法 .122.9反函数法 .132.10倒数法 .133.函数最值时应注意的一些问题 .153.1. 注意定义域 .153.2. 注意值域 .153.3. 注意参变量的约束条件 .153.4. 注意基本不等式的应用 .16参考文献： .19致谢辞： .204函数是高中数学的重要内容之一，也是高等数学研究的主要对象，函数的基础知识在数学和其它许多学科中有着广泛的应用，函数最值作为函数的一个重点内容，同时也是高考、竞赛中的热点、难点，我们遇到的最大的问题是内容散，方法杂，给学生解决最值问题带来很大的困难。由于利用中学数学的思想方法去解决函数最值问题，涉及数学许多知识与方法，要
6、求学生要有扎实的数学基本功及良好的数学思维能力，学生在解题时，常常出现解题思路不清楚，难以抓住最值问题的本质，不能给予恰如其分的分析，有必要让学生对求函数的最值的方法有个总体的认识，以培养学生的数学解题能力和思维能力。同时作为一名即将成为中学数学教师的我,有必要将函数最值的种种求法作一归纳和总结 ,以便自己今后能更好的胜任中学数学教学。1最值的概念1.1最大值一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数满足 ：()yfxIM 对于任意 ,都有 ；IM 存在 ，使得 .0x0()f那么我们就称 是函数的最大值。1.2最小值一般地，设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足：()yfxIm对于任意 ,
7、都有 ；Im存在 ，使得 .0x0()f那么我们就称 是函数的最小值。2最值的求法2.1配方法此方法在初中是求最值的最常用的一种方法，主要运用于二次函数或可转化为二次函数的函数，二次函数 （ 为常数且 ）其性质2yaxbc.a0a中有：51）若 ，当 时， 有最小值 ；a2bxay2min4acby2) 若 ，当 时， 有最大值 。2ax4利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式，利用二次函数的有关性质解决问题。在解题过程中注意自变的取值范围。例（2006 全国卷）ABC 的三个内角为 A、B、C，求当 A 为何值时，取得最大值，并求出最大值。cos2BCA解：A+B+C= B+C=A cosA
8、+2cos 2B=cosA+2cos =cosA+2cos（ ）2A=cosA+2sin =1 sin +2sin 2= (sin )+1A3当 sin = 即 时， 取得最大值 .2A1cos2BC322.2导数法导数是高中阶段求最值一个极其常用的方法，一般不易出错。利用导数求函数最值的的步骤：（1）确定函数的定义域（2）求出所给函数的导数（3）求出函数在定义域的的驻点即导数等于 0 的根为驻点（4）研究函数在驻点左右附近的函数的单调性求出函数的极点（5）将极值点处的函数值与定义域闭区间端点处的函数值比较大小，得出最值。需要注意的是求函数最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此函数的
9、极大值和极小值是判别的关键。6例：已知函数 ( )，求函数在 上的最大值。()axfe01,2解： （ ） ，axf 2()2()axaxfeeax令 ，得 ，得()0f2()0axe2xa当 变化时， 与 的变化情况如下表：x)ff( ，0)0 2(,)a2(,a）(fx 0 + 0 )f单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减所以， 在 和 是减函数，在 上是增函数。()fx,02(,)a2(0,)a当 ，即 2 时， 在 上是减函数，201afx1,max()()affe当 即 时， 在1， 上是增函数，在 上是减函数。21222,a2max4()()ffe当 时，即 时， 在 上是
10、增函数。2a011, 2max()()4affe7综上所述，当 时, 有最大值为01a()fx24ae当 时， 有最大值为2f2当 时 , 有最大值为a()fxae总结提示：对含字母系数的函数判断单调性时，一定要注意对字母的取值进行讨论。而求函数区间 上的最值，其关键是先判断单调性，再求出极,b值，最后比较极值和两端点函数值的大小，以确定函数在区间 上的最值。,ab2.3不等式法通过式的变形, 将函数解析式化为具有“ 基本不等式” 或“ 均值不等式”结构特征， 从而利用基本不等式或均值不等式求最值，利用基本不等式求最值时，一定要关注等号成立的条件。而利用均值定理求最值，必须满足的三个条件：“一
11、正”：各项均为正数；“二定”：和或积为常数；“三相等”：等号必须成立。是正数，那么 ，当且仅当 时，等号成立,ab2abab公式： 2()(,)ababR 20,另外对公式 还有如下扩展：ab设 ， 是 个正数，则有 ，其中等号12,n1212nnaa成立的条件是 ，由此可得结论：若这 个正数的和为定值，则当2na这 个正数相等时，它们的积取最大值；若这 个正数的积为定值，则当这 个n正数相等时，它们的和取最小值。如果能根据所给函数的特点，设法将函数化成若干个部分的和或积，则可利用上述性质求出最值。8例：已知 且 ，求 的最小值及此时的 的值。0xy1x2yx,xy解： ， 0 （定值）1xy
12、 22()2()yxyx上式成立当且仅当 时xy所以联立方程组 得012xy62xy当 ， 时， 取最小值 。62x62x2xy22.4函数的单调性法对于单调函数，最大（小）值出现在定义域的边界处（对于非单调函数，通常借助图像求解更方便） 。一般地，因为恒成立的问题可以用求最值的方法来解决，而利用单调性是求最值的常用方法。有以下关系：恒成立()fxamin()fxa恒成立faxf函数的单调性是研究函数的值域与最值的问题的重要方法。例：已知函数 ， ，求函数 的最小值。()fx21,x()fx解： ， ，0()f2(1)9设 ，则 =12x12()fxf121()()xx1212()()x212
13、()x， ， 210x12120 0，即12()ff12()fxf 在 上是增函数，fx, 的最小值为()f 7(1)2f2.5换元法换元法是一种应用非常广泛的方法，主要有三角换元和代数换元，它在多种类型问题的求解中都很有用，用换元法求函数最值，就是根据函数表达式的特点，把某一部分看作一个整体或用一个新变元来代替，达到化繁难为简易，化陌生为熟悉，从而使原问题得解。用换元法时要特别关注中间变量的取值范围。运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的域。形如（ 均为常数，且 )的函数常用此法求解。yaxbcd,abc0a例：求函数 的值域21yx解：令 ，则(0)tt21t
14、x所以 2yt25()4t所以当 ，即 ， ，无最小值，1t38xmaxy10所以 的值域为 ，+21yx542.6. 线性规划法求线性目标函数在线性约束条件下的最大值和最小值问题,，称为线性规划问题。一般解题步骤是：（1）根据题意，建立数学模型，作出不等式组区域的图形即可行域；（2）设所求的目标函数 为 的值；(,fxy） m（3）将各顶点坐标代人目标函数, 即可得 的最大值与最小值或求直线在 轴上截距的最大（最小） ，从而得 的最大（最小）值。(=mfxy）例：营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075kg 的碳水化合物，0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 的食物 A 含有 0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质，0.14kg 脂肪，花费 28 元；而 1kg 的食物 B 含有 0.105kg碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg 脂肪，花费 21 元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物 A 和食物 B 多少 kg？分析：将已知数据列成下表：食物/kg 糖水化合物/kg 蛋白质/kg 脂肪/kgA 0.105 0.07 0.14B 0.105 0.14 0.07解：设每天食用 kg 食物 A， kg 食物 B，总成本为 ，那么xyz0.15.0.75,746.,0;xy目标函数为 281zxy
