1、九年级(下册),初中数学,24.2.2圆的基本性质,知识回顾：,1.如图所示，AB是O的直径，AC是弦，,O,A,B,C,（1）若B=40 ，则AOC=_,（2）若AOC=70 ，则B=_,2.如图所示：在ABC中， C=90 ，,（1）AB=10，BC=6，则AC=_,（2）AC=6，BC=2，则AB=_,80,35,8,问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,O,观察现象：,O,观察现象：,O,观察现象：,O,观察现象：,O,观察现象：,O,观察现
2、象：,O,观察现象：,O,观察现象：,O,观察现象：,O,观察现象：,O,观察现象：,O,观察现象：,O,观察现象：,O,观察现象：,你能得到什么结论？,圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。它有无数条对称轴,圆的对称性及特性,圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.,用旋转的方法可以得到:,一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度,都能与原来的图形重合.,这是圆特有的一个性质:圆的旋转不变性,垂直于弦的直径,1.圆的轴对称性：,圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。,思考：,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，,使CDAB，垂足为E。,（1）此图是轴对称图形吗？如
3、果是，,它的对称轴是什么？,（2）你能发现图中有哪些相等的线,段和弧？为什么？,A,B,D,C,O,E,垂直于弦的直径,1.圆的轴对称性：,圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。,思考：,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，,使CDAB，垂足为E。,（1）此图是轴对称图形吗？如果是，,它的对称轴是什么？,（2）你能发现图中有哪些相等的线,段和弧？为什么？,A,B,D,C,O,E,垂直于弦的直径,1.圆的轴对称性：,圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。,思考：,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，,使CDAB，垂足为E。,（1）此图是轴对称图形吗？如果是，,它的
4、对称轴是什么？,（2）你能发现图中有哪些相等的线,段和弧？为什么？,A,B,D,C,O,E,垂直于弦的直径,1.圆的轴对称性：,圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。,思考：,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，,使CDAB，垂足为E。,（1）此图是轴对称图形吗？如果是，,它的对称轴是什么？,（2）你能发现图中有哪些相等的线,段和弧？为什么？,A,B,D,C,O,E,垂直于弦的直径,1.圆的轴对称性：,圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。,思考：,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，,使CDAB，垂足为E。,（1）此图是轴对称图形吗？如果是，,它的对称轴是什么
5、？,（2）你能发现图中有哪些相等的线,段和弧？为什么？,A,B,D,C,O,E,垂直于弦的直径,1.圆的轴对称性：,圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。,思考：,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，,使CDAB，垂足为E。,（1）此图是轴对称图形吗？如果是，,它的对称轴是什么？,（2）你能发现图中有哪些相等的线,段和弧？为什么？,A,B,D,C,O,E,垂直于弦的直径,1.圆的轴对称性：,圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。,思考：,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，,使CDAB，垂足为E。,（1）此图是轴对称图形吗？如果是，,它的对称轴是什么？,（2）你
6、能发现图中有哪些相等的线,段和弧？为什么？,A,B,D,C,O,E,垂直于弦的直径,1.圆的轴对称性：,圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。,思考：,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，,使CDAB，垂足为E。,（1）此图是轴对称图形吗？如果是，,它的对称轴是什么？,（2）你能发现图中有哪些相等的线,段和弧？为什么？,A,B,D,C,O,E,垂直于弦的直径,1.圆的轴对称性：,圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。,思考：,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，,使CDAB，垂足为E。,（1）此图是轴对称图形吗？如果是，,它的对称轴是什么？,（2）你能发现图中有
7、哪些相等的线,段和弧？为什么？,A,B,D,C,O,E,垂直于弦的直径,1.圆的轴对称性：,圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。,思考：,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，,使CDAB，垂足为E。,（1）此图是轴对称图形吗？如果是，,它的对称轴是什么？,（2）你能发现图中有哪些相等的线,段和弧？为什么？,A,B,D,C,O,E,垂直于弦的直径,1.圆的轴对称性：,圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。,思考：,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，,使CDAB，垂足为E。,（1）此图是轴对称图形吗？如果是，,它的对称轴是什么？,（2）你能发现图中有哪些相等的线
8、,段和弧？为什么？,A,B,D,C,O,E,垂直于弦的直径,1.圆的轴对称性：,圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。,思考：,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，,使CDAB，垂足为E。,（1）此图是轴对称图形吗？如果是，,它的对称轴是什么？,（2）你能发现图中有哪些相等的线,段和弧？为什么？,A,B,D,C,O,E,垂直于弦的直径,1.圆的轴对称性：,圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。,思考：,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，,使CDAB，垂足为E。,（1）此图是轴对称图形吗？如果是，,它的对称轴是什么？,（2）你能发现图中有哪些相等的线,段和弧？为
9、什么？,A,B,D,C,O,E,垂直于弦的直径,1.圆的轴对称性：,圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。,思考：,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，,使CDAB，垂足为E。,（1）此图是轴对称图形吗？如果是，,它的对称轴是什么？,（2）你能发现图中有哪些相等的线,段和弧？为什么？,（A）,B,D,C,O,E,A,垂直于弦的直径,1.圆的轴对称性：,圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。,（A）,B,D,C,O,E,A,2.垂径定理：,垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所,对的两条弧。,垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分 弦所对的两 条弧.,CD弦AB,如
10、图 CD是O的直径（ O中，CD经过点O）,AM=BM,AM=BM,符号语言：,O,A,B,D,C,O,E,A,B,C,O,D,A,B,C,O,D,A,B,C,应用垂径定理的几个基本图形,请结合图形说出符合垂径定理的条件和结论。,O,探究：,A,B,D,C,E,如图，若直径CD平分弦AB交AB于E时，你认为都有哪些结论成立？,A,B,D,C,O,E,A,B,O,E,C,D,AB是弦，但不能是直径时，才有垂直AB，平分AB所对的两条弧。,O,A,B,C,D,E,推论：,垂径定理及其的推论：,直线CD （1） 过圆心 （2）垂直于弦 （3） 平分弦 （4）平分弦所对的劣弧 （5）平分弦所对的优弧
11、以上五个中只要符合两个条件，就能得到其它三个结论。,定理辨析,判断下列图形，能否使用垂径定理？,注意：定理中的两个条件（直径，垂直于弦）缺一不可！,定理辨析,1、填空：如图，在O中 （1）若MNAB，MN为直径；则 （ ），（ ），（ ）；（2）若ACBC，MN为直径；AB不是直径，则 （ ），（ ），（ ）；（3）若MNAB，ACBC，则 （ ），（ ），（ ）；（4）若AMBM，MN为直径，则 （ ），（ ），（ ）。,练习,2、判断,（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧.( ),（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心.( ),（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直
12、径平分.( ),（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧( ),（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）,问题 ：你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,D,C,的中点，CD就是拱高。,AB=37.4，CD=7.2 ，AD=18.7，设OA=OC=R,OD=OC-CD=R-7.2.,在RtAOD中，OA2 = AD2 + OD2,即 R2 = 18.72 + (R-7.2)2 解得 R27.9,因此，赵州桥的主桥拱的半径约为27.9米。,例1.如图
13、所示，已知AB是O的弦，OCAB于C，且AB=8，OC=3，求O的半径。,O,A,C,B,练习：1.如图O的半径为8，OC 弦AB于C，且OC=6，,求弦长AB。,2.如图O的半径为6，弦AB=8，求圆心O到AB的距离。,O,A,C,B,O,A,C,B,例2：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离为3 ，求圆O的半径。,变式1:在半径为5 的圆O中，有长8 的弦AB，求点O与AB的距离。,2：在半径为5 的圆O中，圆心O到弦AB的距离为3 ，求AB的长。,例3 已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点，AC与BD相等吗？为什么？,P,注意：解决有关
14、弦的问题，过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，也是一种常用辅助线的添法,例5某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道如图所示，污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为10cm，问修理人员应准备半径多大的管道？,O,如图,M为O内的一点,利用尺规作一条弦AB,使AB过点M.并且AM=BM.,A,B,例4,变式如图，过O内一点P，作O的弦AB，使它以点P为中点。,解：过点作，并延长交于，连接,垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，把圆的问题化归为直线形问题解决。,O,思考: 在例2中,我们已计算出的半径cm,如果水面宽度由60cm变为80cm,那么污水面下降了多少cm?,
15、O,两弦在圆心同旁,两弦在圆心两旁,cm；cm,作垂径，连半径，构造直角三角形,注意圆的对称性,拓展,1.如图，AB,CD是O的两条平行弦，AC与BD相等吗？为什么？,2.在半径为5cm的 O中，弦ABCD,且AB=6cm,CD=8cm,求AB,CD之间的距离,3.如图，C=90，C与AB交于点D，AC=5,CB=12,求AD的长,四、圆的问题可以化归为直线型问题解决。这是 一种研究数学的重要思想,二、垂径定理：,一、圆是轴对称图形，其对称轴是,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧,三、垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、圆心到弦的距离等问题,任意一条过圆心
16、的直线（或直径所在直线）,小结,练习1.如图，O的直径是10，弦 AB的长为8，P是AB上的一个动点，则OP的求值范围是 。,使线段OP的长度为整数值的P点位置有 个。,p1,p2,C,注意圆的轴对称性,3OP5,5,2以矩形ABCD的边为直径的交于E、F，DE=1cm,EF=3cm,则AB=_,3.如上图，O的直径是10，线段OP的长为3，则过点P的所有弦中，最大弦长为 ，最短弦长为 ，弦长为整数的有 条？,连半径，构造直角三角形,4.CD为O的直径,弦ABCD于点E,CE=1,AB=10,求CD的长.,C,D,5.如图，OA=OB，AB交O与点C、D，AC与BD是否相等？为什么？,6.在直
17、径为650mm的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度。,7如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又AC=AB, AE=AD, 四边形ADOE为正方形.,巩固训练,1.判断下列说法的正误,平分弧的直径必平分弧所对的弦,平分弦的直线必垂直弦,垂直于弦的直径平分这条弦,平分弦的直径垂直于这条弦,弦的垂直平分线是圆的直径,平分弦所对的一条弧的直径必垂直这条弦,在圆中，如果一条直线经过圆心且平分弦，必平分此弦所对的弧,分别过弦的三等分点作弦的垂线，将弦所对的两条弧分别三等分,2.如图，圆O的弦AB8 ， DC2，直径CEAB于D， 求半径OC的长。,垂径,4.如图，已知圆O的直径AB与 弦CD相交于G，AECD于E， BFCD于F，且圆O的半径为 10，CD=16 ，求AE-BF的长。,5.:如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E， CEB=30，DE=9，CE=3，求弦AB的长。,6.已知：如图,O 中,弦ABCD,ABCD,直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有 : .图中相等的劣弧有: .,F,E,圆的两条平行弦所夹的弧相等。,小 结,、圆的轴对称性,、垂径定理及其逆定理的图式,
