1、1高考达标检测（四十一） 古典概型命题 2 类型简单问题、交汇问题一、选择题1(2017天津高考)有 5 支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A. B.45 35C. D.25 15解析：选 C 从 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，有 10 种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)而取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共 4 种，故所求
2、概率 P .410 252先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为( )A. B.112 16C. D.14 13解析：选 C 骰子的点数为 1,2,3,4,5,6，先后抛掷两颗质地均匀的骰子，设基本事件为( x， y)，共有 6636 个，记两次点数之积为奇数的事件为 A，有(1,1)，(1,3)，(1,5)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,3)，(5,5) 共 9 个，所以两次朝上的点数之积为奇数的概率为 P(A) .936 143(2018豫东名校联考)在集合 A2,3中随机取一个元素 m，在集合 B1,2,3中随机取一个元素 n，得到点 P(
3、m， n)，则点 P 在圆 x2 y29 内部的概率为( )A. B.12 13C. D.34 25解析：选 B 点 P(m， n)共有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)6 种情况，只有(2,1)，(2,2)这 2 个点在圆 x2 y29 的内部，所求概率为 .26 134(2018泉州质检)一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为 a， b， c，当2且仅当 a b， b c 时，称该三位自然数为“凹数”(如 213,312 等)，若a， b， c1,2,3,4，且 a， b， c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是( )A. B.16 524C
4、. D.13 724解析：选 C 由 1,2,3 组成的三位自然数为 123,132,213,231,312,321，共 6 个；同理由 1,2,4 组成的三位自然数共 6 个；由 1,3,4 组成的三位自然数也是 6 个；由 2,3,4 组成的三位自然数也是 6 个所以共有 4624 个当 b1 时，有 214,213,312,314,412,413，共 6 个“凹数” ；当 b2 时，有 324,423，共 2 个“凹数” 所以这个三位数为“凹数”的概率 P .6 224 135从 2 名男生和 2 名女生中任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，每天一人，则星期六安排一名男生、星期日
5、安排一名女生的概率为( )A. B.13 512C. D.12 712解析：选 A 设 2 名男生记为 A1， A2,2 名女生记为 B1， B2，任意选择两人在星期六、星期日参加某公益活动，共有A1A2， A1B1， A1B2， A2B1， A2B2， B1B2， A2A1， B1A1， B2A1， B1A2， B2A2， B2B1 12 种情况，而星期六安排一名男生、星期日安排一名女生共有 A1B1， A1B2， A2B1， A2B2 4 种情况，则发生的概率为 P .412 136甲盒子装有分别标有数字 1,2,3,4 的 4 张卡片，乙盒子装有分别标有数字 2,5 的 2张卡片，若从两
6、个盒子中各随机地取出 1 张卡片，则 2 张卡片上的数字为相邻数字的概率为( )A. B.78 38C. D.14 18解析：选 B 从两个盒子中各随机地取出 1 张卡片，有(1,2)，(1,5)，(2,2)，(2,5)，(3,2)，(3,5)，(4,2)，(4,5)，共 8 种不同的取法，其中数字为相邻数字的取法有(1,2)，(3,2)，(4,5)，共 3 种不同的取法，所以所求概率 P .3837抛掷质地均匀的甲、乙两颗骰子，设出现的点数分别为 a， b，则 0，即 ab.又( a， b)的取法共有 9 种，其中满足 ab 的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(
7、3,2)，共 6 种，故所求的概率 P .69 23二、填空题9先后抛掷两枚质地均匀的骰子，骰子落地后面朝上的点数分别为 x， y，则log2xy1 的概率为_解析：根据题意，每枚骰子朝上的点数都有 6 种情况，则( x， y)的情况有6636(种)若 log2xy1，则 y2 x，其情况有(1,2)，(2,4)，(3,6)，共 3 种，所以 log2xy1 的概率 P .336 112答案：112410从1,0,1,3,4 这五个数中任选一个数记为 a，则使曲线 y 的图象在第一、7 3ax三象限，且满足不等式组Error!无解的概率为_解析：曲线 y 的图象在第一、三象限，且满足不等式组E
8、rror!无解，即7 3ax73 a0 且 a3，所以 a ，所以 a 可取1,0,1，由古典概型的概率公式，得 P .73 35答案：3511从 1(其中 m， n1,2,3)所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)x2m y2n方程中任取一个，则此方程是焦点在 x 轴上的双曲线方程的概率为_解析：当方程 1 表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有x2m y2nm0， n0，所以方程 1 表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的( m， n)有x2m y2n(2，1)，(3， 1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)， (3,3)，(1，1)，共 7 种，其中表示焦点在 x 轴上的双曲线时
9、， m0， n0，有(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，共 4 种，所以所求概率 P .47答案：4712设集合 A0,1,2， B0,1,2，分别从集合 A 和 B 中随机取一个数 a 和 b，确定平面上一个点 P(a， b)，设“点 P(a， b)落在直线 x y n 上”为事件Cn(0 n4， nN)，若事件 Cn的概率最大，则 n 的值为_解析：由题意知，点 P 的坐标的所有情况为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共 9 种当 n0 时，落在直线 x y0 上的点的坐标为(0,0)，共 1 种；当 n
10、1 时，落在直线 x y1 上的点的坐标为(0,1)和(1,0)，共 2 种；当 n2 时，落在直线 x y2 上的点的坐标为(1,1)，(2,0)，(0,2)，共 3 种；当 n3 时，落在直线 x y3 上的点的坐标为(1,2)，(2,1)，共 2 种；当 n4 时，落在直线 x y4 上的点的坐标为(2,2)，共 1 种因此，当 Cn的概率最大时， n2.答案：2三、解答题13有一枚正方体骰子，六个面分别写有数字 1,2,3,4,5,6，规定抛掷该枚骰子得到的数字是抛掷后面向上的那一个数字已知 b 和 c 是先后抛掷该枚骰子得到的数字，函数5f(x) x2 bx c(xR)(1)若先抛掷
11、骰子得到的数字是 3，求再次抛掷骰子时，函数 y f(x)有零点的概率；(2)求函数 y f(x)在区间(3，)上是增函数的概率解：(1)记“函数 f(x) x2 bx c(xR)有零点”为事件 A，由题意知， b3， c1,2,3,4,5,6，所有的基本事件为(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，共 6 个当函数 f(x) x2 bx c(xR)有零点时，方程 x2 bx c0 有实数根，即 b24 c0， c ， c1 或 2，94即事件 A 包含 2 个基本事件，函数 f(x) x2 bx c(xR)有零点的概率 P(A) .26 13(2)由题意可知，
12、所有的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(6,5)，(6,6)，共 36 个记“函数 y f(x)在区间(3，)上是增函数”为事件 B. y f(x)的图象开口向上，要想使函数 y f(x)在区间(3，)上是增函数，只需 3 即可，解得 b6， b6.b2事件 B 包含的基本事件有 6 个函数 y f(x)在区间(3，)上是增函数的概率 P(B) .636 1614学校组织学生参加某项比赛，参赛选手必须有很好的语言表达能力和文字组织能力学校对 10 位已入围的学生进行语言表达能力和文字组织能力的测试，测试成绩分为A， B， C 三个等
13、级，其统计结果如下表：语言表达能力文字组织能力 A B CA 2 2 0B 1 a 1C 0 1 b由于部分数据丢失，只知道从这 10 位参加测试的学生中随机抽取一位，抽到语言表达能力或文字组织能力为 C 的学生的概率为 .310(1)求 a， b 的值；6(2)从测试成绩均为 A 或 B 的学生中任意抽取 2 位，求其中至少有一位语言表达能力或文字组织能力为 A 的学生的概率解：(1)依题意可知，语言表达能力或文字组织能力为 C 的学生共有( b2)人，所以 ， a b3，解得 b1， a2.b 210 310(2)测试成绩均为 A 或 B 的学生共有 7 人，其中语言表达能力和文字组织能力
14、均为 B 的有 2 人，设为 b1， b2，其余 5 人设为 a1， a2， a3， a4， a5.则基本事件空间 ( a1， a2)，( a1， a3)，( a1， a4)，( a1， a5)，( a1， b1)，( a1， b2)，(a2， a3)，( a2， a4)，( a2， a5)，( a2， b1)，( a2， b2)，( a3， a4)，( a3， a5)，( a3， b1)，(a3， b2)，(a4， a5)，( a4， b1)，( a4， b2)，( a5， b1)，( a5， b2)，( b1， b2)所以基本事件空间总数为 21.选出的 2 人语言表达能力和文字组织能力均
15、为 B 的有( b1， b2)所以至少有一位语言表达能力或文字组织能力为 A 的学生的概率 P1 .121 20211若 x A 的同时，还有 A，则称 A 是“好搭档集合” ，在集合 B1x的所有非空子集中任选一集合，则该集合是“好搭档集合”的概率为( )13， 12， 1， 2， 3A. B.731 732C. D.14 831解析：选 A 由题意可得，集合 B 的非空子集有 25131 个，其中是“好搭档集合”的有：1， ， ， ， ， ， ，共 7 个，13， 312， 213， 1， 312， 1， 213， 12， 2， 313， 12， 1， 2， 3所以该集合是“好搭档集合”的
16、概率为 P .7312某企业员工 500 人参加“学雷锋”活动，按年龄分组所得频率分布直方图如图所示7(1)下表是年龄的频数分布表，求出表中 a， b 的值；组别 25,30) 30,35) 35,40) 40,45) 45,50人数 50 50 a 150 b(2)现在要从年龄较小的第 1,2,3 组中用分层抽样的方法抽取 6 人，则年龄在第 1,2,3组的各抽取多少人？(3)在第(2)问的前提下，从这 6 人中随机抽取 2 人参加社区活动，求至少有 1 人年龄在第 3 组的概率解：(1)由图可知，年龄在35,40)间的频率为 0.0850.4，年龄在45,50)间的频率为 0.0250.1，故 a0.4500200， b0.150050.(2)由(1)及表中数据知抽取的 1,2,3 组的人数比为 114，故 1,2,3 组抽取的人数分别为 1,1,4.(3)设第 1 组的人为 A，第 2 组的人为 B，第 3 组的人为 c， d， e， f.现在随机抽取 6人，则所有的抽取方法为AB， Ac， Ad， Ae， Af， Bc， Bd， Be， Bf， cd， ce， cf， de， df， ef 共 15 种记事件 E 为“至少有 1 人来自第 3 组” ，则 P(E)1 .115 1415
