1、1高考达标检测（八） 对数函数的 2 类考查点图象、性质一、选择题1已知 lg alg b0( a0，且 a1， b0，且 b1)，则函数 f(x) ax与 g(x)log bx 的图象可能是( )解析：选 B 因为 lg alg b0，所以 lg ab0，所以 ab1，即 b ，故 g(x)log bxlog 1axlog ax，1a则 f(x)与 g(x)互为反函数，其图象关于直线 y x 对称，结合图象知 B 正确故选 B.2(2017西安二模)若函数 ylog 2(mx22 mx3)的定义域为 R，则实数 m 的取值范围是( )A(0,3) B0,3)C(0,3 D0,3解析：选 B
2、由题意知 mx22 mx30 恒成立当 m0 时，30，符合题意；当 m0 时，只需Error!解得 02log23log450，所以 b0，且a1)的图象如图所示，则 a， b 满足的关系是( )A01.又由图象知函数图象与 y 轴交点的纵坐标介于21 和 0 之间，即1 f(2) B f(a1) f(2)6已知 ab0， a b1， x b， ylog ab ， zlog b ，则 x， y， z 的大小(1a) (1a 1b) 1a关系为( )A xb0， a b1，所以 1ab0，所以 1,04，1a 14 1a 1b 1ab所以 x b1b 1b 1b 1b20， g(b)在(1，)
3、上为增函数， g(b)2 b 3，故选 C.1b8设 a， b， cR 且 c0，x 1.5 3 5 6 7 8 9 14 27lg x 2a b a b a c b c a2 b 3(c a 2(a b b a 3(a b31 c ) ) )若上表中的对数值恰有两个是错误的，则 a 的值为( )Alg B. lg221 12 314C. lg Dlg 12 37 67解析：选 B 由题意可得 lg 3 a b，lg 92( a b)，lg 273( a b)正确，lg 5 a c1lg 2 c a，lg 6 b clg 2 c a，lg 83( c a)lg 2 c a，故这三个都正确；此时
4、，lg 1.5lg 3lg 22 a b c2 a b，所以表中 lg 1.5 错误；lg 7 a2 b c( a b)( b c)lg 3lg 6lg 18，显然错误；故表中 lg 14 b a 是正确的综上，lg 2 c a，lg 3 a b，lg 14 b a，所以 a (lg 3lg 14) lg .12 12 314二、填空题9若 log2xlog 2(2y)，则 x2 y 的最小值是_解析：由 log2xlog 2(2y)，可得 2xy1，且 x， y 均为正数，则x2 y2 2，当且仅当 x2 y，即 x1， y 时，等号成立，故 x2 y 的最小值是x2y122.答案：210(
5、2017湛江一模)已知函数 f(x)log a (a0，且 a1)是奇函数，则函2m 1 mxx 1数 f(x)的定义域为_解析：因为 f(x)为奇函数，所以 f(x) f( x)0，即 loga log a 0，2m 1 mxx 1 2m 1 mx x 1化简得( m21) x24 m(m1)对定义域上的每一个 x 都成立，所以 m1，此时 f(x)log a .1 x1 x由 0，解得10，且 a1)满足对任意的4x1， x2，当 x10 时， f(x)lg ，若对任意实数2x2x 1t ，都有 f(t a) f(t1)0 恒成立，则实数 a 的取值范围为_12， 2解析：设 u 1 ，其
6、在(0，)上是增函数，2x2x 1 12x 1则 f(u)lg u 在(0，)上是增函数，所以复合函数 f(x)lg 在(0，)上是增函数2x2x 1又因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以 f(t a) f(t1)0 等价于 f(t a) f(t1)，即| t a| t1|，对任意实数 t 恒成立，12， 2两边平方化简可得 2(a1) t a210 恒成立，令 g(t)2( a1) t a21，则Error!解得 a3 或 a0.答案：(，30，)三、解答题13(2018枣庄模拟)设 x2,8时，函数 f(x) loga(ax)loga(a2x)(a0，且12a1)的最大值是 1，最
7、小值是 ，求实数 a 的值18解： f(x) (logax1)(log ax2)12 (logax)23log ax212 2 .12(logax 32) 18当 f(x)取最小值 时，log ax .18 32 x2,8， a(0,1) f(x)是关于 logax 的二次函数， f(x)的最大值必在 x2 或 x8 处取得5若 2 1，则 a2 31，12(loga2 32) 18此时 f(x)取得最小值时， x 2,8，舍去；(2) 2若 2 1，则 a ，12(loga8 32) 18 12此时 f(x)取得最小值时， x 32 2,8，符合题意 a .(12) 2 1214已知 f(l
8、og2x) ax22 x1 a， aR.(1)求 f(x)；(2)解关于 x 的方程 f(x)( a1)4 x；(3)设 h(x)2 xf(x)， a 时，对任意 x1， x21,1总有| h(x1) h(x2)| 成12 a 12立，求实数 a 的取值范围解：(1)令 log2x t，即 x2 t，则 f(t) a(2t)222 t1 a，即 f(x) a22x22 x1 a.(2)由 f(x)( a1)4 x，化简得 22x22 x1 a0，即(2 x1) 2 a，当 a0 时，方程无解，当 a0 时，解得 2x1 ，a若 0 a1，则 xlog 2(1 )，a若 a1，则 xlog 2(
9、1 )a(3)对任意 x1， x21,1总有| h(x1) h(x2)| 成立，a 12等价于当 x1,1时， hmax hmin ，a 12由已知得， h(x) a2x 2，1 a2x令 2x t，则 y at 2， t ，1 at 12， 2令 g(t) at 2， t ，1 at 12， 2当 a1 时， g(t) at 2， t 单调递增，1 at 12， 2此时 g(t)max g(2) ， g(t)min g ，3 a 12 (12) 3a2g(t)max g(t)min ，解得 a (舍去)6a 32 a 12 456当 a1 时， g(t) at 2， t 单调递增，45 1
10、at 12， 2此时 g(t)max g(2) ， g(t)min g ，3 a 12 (12) 3a2g(t)max g(t)min ，解得 a ， a .6a 32 a 12 45 45当 a 时， g(t) at 2， t ，12 45 1 at 12， 2在 上单调递减，在 上单调递增，12， 1a 1 1a 1， 2且 g(2) g ， g(t)max g(2) ，(12) 3 a 12g(t)min g 2 2，(1a 1) a 1 a g(t)max g(t)min (2 2) 即 a ， a .3 a 12 a 1 a a 12 45 12 45综上，实数 a 的取值范围为 .
11、12， 451已知函数 f(x)Error!若存在三个不同的实数 a， b， c，使得 f(a) f(b) f(c)，则 a b c 的取值范围为_解析：当 x0，)时， f(x)cos sin x，(x 2) f(x)在(0，)上关于 x 对称，且 f(x)max1； 2又当 x，)时， f(x)log 2 017 是增函数，x作出 y f(x)的函数图象如图所示令 log2 017 1 得 x2 017， f(a) f(b) f(c)，x a b， c(，2 017)， a b c c(2，2 018)答案：(2，2 018)2(2017江苏高考)设 f(x)是定义在 R 上且周期为 1
12、的函数，在区间0,1)上， f(x)7Error! 其中集合 DError! ，则方程 f(x)lg x0 的解的个数是_解析：由于 f(x)0,1)，因此只需考虑 1 x10 的情况，在此范围内，当 xQ 且 xZ 时，设 x ， q， pN *， p2 且 p， q 互质qp若 lg xQ，则由 lg x(0,1)，可设 lg x ， m， nN *， m2 且 m， n 互质，nm因此 10 ，则 10n m，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此 lg xQ，nm qp (qp)故 lg x 不可能与每个周期内 x D 对应的部分相等，只需考虑 lg x 与每个周期内 xD 部分的交点画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期xD 的部分，且 x1 处(lg x) 1，则在 x1 附近仅有一个交点，1xln 10 1ln 10因此方程 f(x)lg x0 的解的个数为 8.答案：8
