1、1高考达标检测（二十二） 平面向量的数量积及应用一、选择题1(2018江西八校联考)已知两个非零向量 a，b 满足 a(ab)0，且2|a|b|，则 a，b( )A30 B60C120 D150解析：选 B 由题知 a2a b，而 cosa，b ，所以ab|a|b| |a|22|a|2 12a，b60.2.如图，在圆 C中，点 A， B在圆上，则 的值( )AB AC A只与圆 C的半径有关B既与圆 C的半径有关，又与弦 AB的长度有关C只与弦 AB的长度有关D是与圆 C的半径和弦 AB的长度均无关的定值解析：选 C 如图，过圆心 C作 CD AB，垂足为 D，则 | | |cos CAB |
2、 |2.AB AC AB AC 12 AB 的值只与弦 AB的长度有关AB AC 3已知圆 O： x2 y24 上的三点 A， B， C，且 ，则 ( )OA BC AC BA A6 B2 3C6 D2 3解析：选 C 如图， ，OA BC 四边形 OACB为平行四边形，则| | | | |2.OA OB OC BC 四边形 OACB为菱形，且 AOB120，则 ( ) | |222 46.AC BA OB OA OB OB OA OB ( 12)4在 ABC中， AB3， AC2， BC ，则 的值为( )10 BA AC A B32 23C. D. 23 322解析：选 A 在 ABC中，
3、由余弦定理得 cos A ，AC2 AB2 BC22ACAB 22 32 10 2223 14所以 | | |cos( A)| | |cos BA AC BA AC BA AC A32 .14 325(2017浙江高考)如图，已知平面四边形ABCD， AB BC， AB BC AD2， CD3， AC与 BD交于点 O.记I1 ， I2 ， I3 ，则( )OA OB OB OC OC OD A I1I3，作 AG BD于 G，又 AB AD， OB ，即 I1I3，OA OB OC OD I30， nm.54从而 DBC45，又 BCO45， BOC为锐角3从而 AOB为钝角故 I10.又
4、OA1)， 2 ( 21)，OD OB OC OA 从而 I3 1 2 1 2I1，OC OD OA OB 又 1 21， I10， I30， I3I1， I3I1I2.6已知菱形 ABCD的边长为 6， ABD30，点 E， F分别在边 BC， DC上，BC2 BE， CD CF .若 9，则 的值为( )AE BF A2 B3C4 D5解析：选 B 依题意得 ， ，AE AB BE 12BC BA BF BC 1 BA 因此 2 2 ，AE BF 12BC 1 BA (12 1)BC BA 于是有 62 62cos 609，由此解得 3.(12 1 ) (12 1)7(2018石家庄模拟)
5、已知向量 a，b，c 共面，且均为单位向量，ab0，则|abc|的取值范围是( )A 1， 1 B1， 2 2 2C ， D 1,12 3 2解析：选 A 因为 ab0，所以|ab| 2a 22abb 22，所以|ab| ，所以|abc| 2a 2b 2c 22ab2(ab)c32(ab)c.2当 c与(ab)同向时，(ab)c 最大，|abc| 2最小，此时(ab)c|ab|c|cos 0 ，|abc| 232 ，所以|abc| min 1.2 2 2当 c与(ab)反向时，(ab)c 最小，|abc| 2最大，此时(ab)c|ab|c|cos ，|abc| 232 ，所以|abc| max
6、 1.2 2 2所以|abc|的取值范围为 1， 12 28(2018银川调研)已知 ，| | ，| | t，若点 P是 ABC所在AB AC AB 1t AC 平面内的一点，且 ，则 的最大值等于( )AP PB PC A13 B15C19 D214解析：选 A 建立如图所示的平面直角坐标系，则 B ， C(0， t)， ， (0， t)，(1t， 0) AB (1t， 0) AC t (0， t)(1,4)，AP (1t， 0) 4t P(1,4)， (1， t4)PB PC (1t 1， 4)17 172 13，当且仅当 t 时，取 “” 故 的最大值为(1t 4t) 1t4t 12 P
7、B PC 13.二、填空题9已知向量 a(1， x)，b(1， x1)，若(a2b)a，则|a2b|_.解析：a2b(1,2 x)，且(a2b)a，(a2b)a1 x(2 x) x22 x10， x1，a2b(1,1)，|a2b| .2答案： 210已知向量 ， 是平面内两个互相垂直的单位向量，若(5 2 )(12 2 )0，则 | |的最大值是_解析：因为 0，| | |1，所以(5 2 )(12 2 )60 10 24 4 20，即 2| |25 12 (5 12 ) ，当 与 5 12 共线时，| |最大，所以 4| |2(5 12 )225| |2120 144| |225144169
8、，所以| | .132答案：13211已知 O为 ABC内一点， AOB120， OA1， OB2，过点 O作 OD AB于点D， E为线段 OD的中点，则 的值为_OE EA 解析：如图， AOB120， OA1， OB2， OD AB， E为线段 OD5的中点，则 0，OD AD 所以 ( ) OE EA AE 12 OD .在 AOB中，由余弦定理可得 AB ，7因为 S AOB ABOD OAOBsin 120，12 12即 OD 12 ，12 7 12 32所以 OD ，所以 .217 OE EA 328答案：32812.如图，在梯形 ABCD中，| |2， CDA ， 2 ， E为
9、 AB的中点，DA 3 DA CB (0 1)若 | | t(t为大于零的常数)，当| |取得最小值时，DP DC DC PE 实数 _.解析： ， (1 ) ，DP DC PC DC (1 ) PE PC CB BE DC 12DA 14DA 12DC (12 )DC 34，DA 2 tcos t， 2 t2， 24，DC DA 3 DC DA 2 2t2 t 2 ，PE (12 ) 94 32(12 ) (12 )t 34 2716当 t ，即 时， 2取得最小值 .(12 ) 34 12 34t PE 2716| |的最小值为 ，此时 .PE 334 12 34t答案： 12 34t6三
10、、解答题13已知 a(3，1)，ab5，c xa(1 x)b.(1)若 ac，求实数 x的值；(2)若|b| ，求|c|的最小值5解：(1)a(3，1)，|a| ，10又 ab5，c xa(1 x)b，且 ac，aca( xa(1 x)b)0，即 x|a|2(1 x)ab10 x5(1 x)0，解得 x .13(2)由 c xa(1 x)b，得|c| 2 xa(1 x)b2 x2|a|22 x(1 x)ab(1 x)2|b|210 x210 x(1 x)5(1 x)25(5 x24 x1)25 21.(x25)当 x 时，|c| 1，则|c|的最小值为 1.25 2min14已知向量 m ，
11、n .(3sin x4， 1) (cosx4， cos2x4)(1)若 mn1，求 cos 的值；(23 x)(2)记 f(x) mn，在 ABC中，角 A， B， C的对边分别是 a， b， c，且满足 (2a c)cos Bbcos C，求函数 f(A)的取值范围解： mn sin cos cos 2 sin cos sin .3x4 x4 x4 32 x2 12 x2 12 (x2 6) 12(1) mn1，sin ，(x2 6) 12cos 12sin 2 ，(x3) (x2 6) 12cos cos .(23 x) (x 3) 12(2)(2ac)cos Bbcos C，由正弦定理得
12、7(2sin Asin C)cos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin Ccos Bsin Bcos C，2sin Acos Bsin( B C) A B C，sin( B C)sin A，且 sin A0，cos B ， B .0 A .12 3 23 ， sin 1.6A2 62 12 (A2 6)又 f(x) mnsin ，(x2 6) 12 f(A)sin ，(A2 6) 12故 1f(A) .32故函数 f(A)的取值范围是 .(1，32)1已知圆 O的半径为 1， A， B是圆上的两点，且 AOB ， MN是圆 O的任意一条直3径，若点 C满足 (1 ) ( R)
13、，则 的最小值为12OC OA OB CM CN _解析：由题意可得 ( )( )CM CN CO OM CO ON 2 ( ) ，CO CO OM ON OM ON MN是圆 O的任意一条直径， 0， 1，OM ON OM ON 201 21.CM CN CO CO 要求 的最小值问题就是求 2的最小值，CM CN CO (1 ) ( R)，12OC OA OB 点 C在直线 AB上，则当 C在 AB中点时， OC AB， OC最小为等边三角形 AOB的高线，为 ，此时 3282 ，CO 34故 的最小值为 21 .CM CN CO 14答案：142.在如图所示的平面直角坐标系中，已知点 A
14、(1,0)和点 B(1,0)，| |1，且 AOC x，其中 O为坐标原点OC (1)若 x ，设点 D为线段 OA上的动点，求| |的最34 OC OD 小值；(2)若 x ，向量 m ， n(1cos x，sin x2cos x)，求 mn的最小0，2 BC 值及对应的 x值解：(1)设 D(t,0)(0 t1)，当 x 时，可得 C ，34 ( 22， 22)所以 ，OC OD ( 22 t， 22)所以| |2 2 (0 t1)，OC OD (t 22) 12所以当 t 时，| |2取得最小值为 ，22 OC OD 12故| |最小值为 .OC OD 22(2)由题意得 C(cos x，sin x)， m (cos x1，sin x)，BC 则 mn1cos 2xsin 2x2sin xcos x1cos 2 xsin 2 x1 sin .2 (2x4)因为 x ，所以 2 x .0，2 4 4 54所以当 2x ，即 x 时，4 2 8mn1 sin 取得最小值 1 ，2 (2x4) 2所以 mn的最小值为 1 ，此时 x .28
