1、1高考达标检测（二十一） 平面向量的基本运算一、选择题1.(2018长春模拟)如图所示，下列结论正确的是( ) a b；PQ 32 32 ab；PT 32 a b；PS 32 12 ab.PR 32A BC D解析：选 C 根据向量的加法法则，得 a b，故正确；PQ 32 32根据向量的减法法则，得 a b，故错误；PT 32 32 a b2b a b，故正确；PS PQ QS 32 32 32 12 a bb a b，故错误，故选 C.PR PQ QR 32 32 32 122(2018长沙一模)已知向量 ( k,12)， (4,5)， ( k,10)，且OA OB OC A， B， C三
2、点共线，则 k的值是( )A B.23 43C. D.12 13解析：选 A (4 k，7)，AB OB OA (2 k，2)AC OC OA A， B， C三点共线， ， 共线，AB AC 2(4 k)7(2 k)，解得 k .2323(2018嘉兴调研)已知点 O为 ABC外接圆的圆心，且 0，则OA OB CO ABC的内角 A等于( )A30 B45C60 D90解析：选 A 由 0 得， ，OA OB CO OA OB OC 由 O为 ABC外接圆的圆心，结合向量加法的几何意义知，四边形 OACB为菱形，且 CAO60，故 A30.4若 a， b，a 与 b不共线，则 AOB平分线上
3、的向量 为( )OA OB OM A. B.a|a| b|b| a b|a b|C. D. ， 由 确定|b|a |a|b|a| |b| (a|a| b|b|) OM 解析：选 D 以 OM为对角线，以 ， 方向为邻边作平行四边形 OCMD，OA OB OM平分 AOB，平行四边形 OCMD是菱形设 OC OD ，则 ， ，OC a|a| OD b|b| ，且 由 确定OM OC OD (a|a| b|b|) OM 5设 D， E， F分别是 ABC的三边 BC， CA， AB上的点，且 2 ， 2DC BD CE ， 2 ，则 与 ( )EA AF FB AD BE CF BC A反向平行
4、B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直解析：选 A 由题意得 ，AD AB BD AB 13BC ，BE BA AE BA 13AC ，CF CB BF CB 13BA 因此 ( )AD BE CF CB 13 BC AC AB 3 ，CB 23BC 13BC 故 与 反向平行AD BE CF BC 6.如图所示，已知点 G是 ABC的重心，过点 G作直线与AB， AC两边分别交于 M， N两点，且 x ， y ，则AM AB AN AC 的值为( )xyx yA3 B.13C2 D.12解析：选 B 利用三角形的性质，过重心作平行于底边 BC的直线，易得 x y ，则 .23 xyx y
5、137(2018兰州模拟)已知向量 a(1sin ，1)，b ，若 ab，(12， 1 sin )则锐角 ( )A. B.6 4C. D.3 512解析：选 B 因为 ab，所以(1sin )(1sin )1 0，12得 sin2 ，所以 sin ，故锐角 .12 22 48已知 ABC是边长为 4的正三角形， D， P是 ABC内的两点，且满足 AD ( )， ，则 APD的面积为( )14 AB AC AP AD 18BC A. B.34 32C. D23 3解析：选 A 法一：取 BC的中点 E，连接 AE，由于 ABC是边长为 4的正三角形，则AE BC， ( )，又 ( )，所以点
6、D是 AE的中点， AD .取AE 12 AB AC AD 14 AB AC 3 ，以 AD， AF为邻边作平行四边形，可知 .而AF 18BC AP AD 18BC AD AF 4 APD是直角三角形， AF ，所以 APD的面积为 .12 12 12 3 34法二：以 A为原点，以 BC的垂直平分线为 y轴，建立如图所示的平面直角坐标系等边三角形 ABC的边长为 4， B(2，2 )， C(2，2 )，3 3由题知 ( ) (2，2 )(2，2 )(0， )，AD 14 AB AC 14 3 3 3 (0， ) (4,0) ，AP AD 18BC 3 18 (12， 3) ADP的面积为
7、S | | | .12 AD DP 12 3 12 34二、填空题9在矩形 ABCD中， O是对角线的交点，若 5e 1， 3e 2，则BC DC _.(用 e1，e 2表示)OC 解析：在矩形 ABCD中，因为 O是对角线的交点，所以 ( ) ( ) (5e13e 2) e1 e2.OC 12AC 12 AB AD 12 DC BC 12 52 32答案： e1 e252 3210已知 S是 ABC所在平面外一点， D是 SC的中点，若 x y z ，则 x y z_.BD AB AC AS 解析：依题意得 ( ) ，BD AD AB 12 AS AC AB AB 12AC 12AS 因此
8、x y z1 0.12 12答案：011(2018贵阳模拟)已知平面向量 a，b 满足|a|1，b(1,1)，且 a b，则向量a的坐标是_解析：设 a( x， y)，平面向量 a，b 满足|a|1，b(1,1)，且 a b， 1，且 x y0，解得 x y .x2 y222a 或 .(22， 22) ( 22， 22)5答案： 或(22， 22) ( 22， 22)12.在直角梯形 ABCD中，AB AD， DC AB， AD DC1， AB2， E， F分别为 AB， BC的中点，点P在以 A为圆心， AD为半径的圆弧 DE上变动(如图所示)，若 AP ，其中 ， R，则 2 的取值范围是
9、_ED AF 解析：以 A为坐标原点， AB为 x轴， AD为 y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)， E(1，0)， D(0,1)， F ，(32， 12)设 P(cos ，sin )(0 90)， ，AP ED AF (cos ，sin ) (1,1) (32， 12) ，( 32 ， 2)cos ，sin ，32 2 (3sin cos )， (cos sin )，14 122 sin cos sin( 45)，20 90，45 4545， sin( 45) ，22 221 sin( 45)1，22 的取值范围是1,1答案：1,1三、解答题13.如图所示，在 ABC中，
10、D， F分别是 BC， AC的中点， AE ， a， b.23AD AB AC (1)用 a，b 表示向量 ， ， ， ， ；AD AE AF BE BF (2)求证： B， E， F三点共线6解：(1)延长 AD到 G，使 ，AD 12AG 连接 BG， CG，得到平行四边形 ABGC，所以 ab，AG (ab)，AD 12AG 12 (ab)，AE 23AD 13 b，AF 12AC 12 (ab)a (b2a)，BE AE AB 13 13 ba (b2a)BF AF AB 12 12(2)证明：由(1)可知 ，BE 23BF 又因为 ， 有公共点 B，BE BF 所以 B， E， F三
11、点共线14(2018郑州模拟)平面内给定三个向量 a(3,2)，b(1，2)，c(4,1)(1)若(a kc)(2ba)，求实数 k的值；(2)若 d满足( dc)(ab)，且| dc| ，求 d的坐标5解：(1)a kc(34 k,2 k)，2ba(5,2)，由题意得 2(34 k)(5)(2 k)0，解得 k .1613(2)设 d( x， y)，则 dc( x4， y1)，又 ab(2,4)，| dc| ，5Error! 解得Error!或Error! d的坐标为(3，1)或(5,3)15.如图，在 OAB中， ， ， AD与 OC 14OA OD 12OB BC交于点 M，设 a， b
12、.OA OB 7(1)用 a，b 表示 ；OM (2)在线段 AC上取一点 E，在线段 BD上取一点 F，使 EF过 M点，设 p ，OE OA q ，求证： 1.OF OB 17p 37q解：(1)设 xa yb，OM 由 ，得 4 x yb，OC 14OA OM OC C， M， B三点共线，4 x y1. 由 ，得 xa2 y ，OD 12OB OM OD A， M， D三点共线， x2 y1， 联立得， x ， y .17 37 a b.OM 17 37(2)证明： p ， q ，OE OA OF OB ， ，OA 1pOE OB 1qOF .OM 17 1pOE 37 1qOF E，
13、 M， F三点共线， 1.17p 37q1已知点 P是 ABC的中位线 EF上任意一点，且 EF BC，实数 x， y满足 xPA y 0，设 ABC， PBC， PCA， PAB的面积分别为 S， S1， S2， S3，记PB PC 1， 2， 3，则 2 3取最大值时，3 x y的值为( )S1S S2S S3SA. B.12 32C1 D2解析：选 D 由题意可知 1 2 31.8 P是 ABC的中位线 EF上任意一点，且 EF BC， 1 ， 2 3 ，12 12 2 3 2 ，( 2 32 ) 116当且仅当 2 3 时取等号，14 2 3取最大值时， P为 EF的中点延长 AP交
14、BC于 M，则 M为 BC的中点， PA PM， ( )，PA PM 12 PB PC 又 x y 0，PA PB PC x y ，123 x y2.2.如图，在 Rt ABC中， P是斜边 BC上一点，且满足 ，点 M， N在过点 P的直线上，若 ， BP 12PC AM AB AN ( 0， 0)，则 2 的最小值为( )AC A2 B.83C3 D.103解析：选 B ， ( 0， 0)，AM AB AN AC (1 ) .MB MP PB AB M， P， N三点共线，存在实数 k，使 k k( ) k k .MP MN AN AM AB AC ， .BP 12PC PB 13CB 13AB 13AC (1 ) ，MP PB (13 k )AB (k 13)AC AB Error!由得， k 代入得， 1 ，13 13 39 ， 2 .3 2 23 2设 f( ) ， 0，23 2 f( ) ，令 f( )0，得 0 或 .9 2 12 3 2 2 43当 时， f( )0.(0，43) (43， ) 时， f( )取极小值，也是最小值，43又 f ， f( )的最小值为 ，(43) 83 83即 2 的最小值为 .83
