1、1高考达标检测（五十三） 不等式证明1已知 a， b 都是正实数，且 a b2，求证： 1.a2a 1 b2b 1证明： a0， b0， a b2， 1a2a 1 b2b 1 a2 b 1 b2 a 1 a 1 b 1 a 1 b 1a2b a2 b2a b2 ab a b 1 a 1 b 1a2 b2 ab a b ab a b 1 a 1 b 1 .a2 b2 2ab ab 3 a 1 b 1 a b 2 3 ab a 1 b 1 1 ab a 1 b 1 a b22 ， ab1.ab 0.1 ab a 1 b 1 1.a2a 1 b2b 12已知定义在 R 上的函数 f(x)| x1|
2、x2|的最小值为 a.(1)求 a 的值；(2)若 p， q， r 是正实数，且满足 p q r a，求证： p2 q2 r23.解：(1)因为| x1| x2|( x1)( x2)|3，当且仅当1 x2 时，等号成立，所以 f(x)的最小值等于 3，即 a3.(2)证明：由(1)知 p q r3，又因为 p， q， r 是正实数，所以( p2 q2 r2)(121 21 2)( p1 q1 r1)2( p q r)29，即 p2 q2 r23.3(2018云南统一检测)已知 a 是常数，对任意实数 x，不等式|x1|2 x| a | x1|2 x|都成立(1)求 a 的值；(2)设 m n0
3、，求证：2 m 2 n a.1m2 2mn n2解：(1)设 f(x)| x1|2 x|，则 f(x)Error! f(x)的最大值为 3.对任意实数 x，| x1|2 x| a 都成立，即 f(x) a，2 a3.设 h(x)| x1|2 x|，则 h(x)Error!则 h(x)的最小值为 3.对任意实数 x，| x1|2 x| a 都成立，即 h(x) a， a3. a3.(2)证明：由(1)知 a3.2 m 2 n( m n)( m n) ，且 m n0，1m2 2mn n2 1 m n 2( m n)( m n)1 m n 23 3.3 m n m n 1 m n 22 m 2 n
4、a.1m2 2mn n24已知 x， y， z 是正实数，且满足 x2 y3 z1.(1)求 的最小值；1x 1y 1z(2)求证： x2 y2 z2 .114解：(1) x， y， z 是正实数，且满足 x2 y3 z1， (x2 y3 z)1x 1y 1z (1x 1y 1z)6 62 2 2 ，2yx 3zx xy 3zy xz 2yz 2 3 6当且仅当 且 且 时取等号2yx xy 3zx xz 3zy 2yz(2)由柯西不等式可得1( x2 y3 z)2( x2 y2 z2)(122 23 2)14( x2 y2 z2)， x2 y2 z2 ，114当且仅当 x ，即 x ， y
5、， z 时取等号y2 z3 114 17 314故 x2 y2 z2 .1145(2018石家庄模拟)已知函数 f(x)| x| x1|.3(1)若 f(x)| m1|恒成立，求实数 m 的最大值 M；(2)在(1)成立的条件下，正实数 a， b 满足 a2 b2 M，证明： a b2 ab.解：(1)由绝对值不等式的性质知f(x)| x| x1| x x1|1， f(x)min1，只需| m1|1，即1 m11，0 m2，实数 m 的最大值 M2.(2)证明： a2 b22 ab，且 a2 b22， ab1， 1，当且仅当 a b 时取等号ab又 ， ，aba b2 aba b 12 ，当且
6、仅当 a b 时取等号aba b ab2由得， ， a b2 ab.aba b 126(2018吉林实验中学模拟)设函数 f(x)| x a|.(1)当 a2 时，解不等式 f(x)4| x1|；(2)若 f(x)1 的解集为0,2， a(m0， n0)，求证： m2 n4.1m 12n解：(1)当 a2 时，不等式为| x2| x1|4.当 x2 时，不等式可化为 x2 x14，解得 x ；72当 1 x2 时，不等式可化为 2 x x14，不等式的解集为；当 x1 时，不等式可化为 2 x1 x4，解得 x .12综上可得，不等式的解集为 .( ， 12 72， )(2)证明： f(x)1
7、，即| x a|1，解得 a1 x a1，而 f(x)1 的解集是0,2，Error! 解得 a1，所以 1( m0， n0)，1m 12n所以 m2 n( m2 n)(1m 12n)42 22 4，m2n 2nm m2n2nm当且仅当 m2， n1 时取等号7已知 a， b， c， d 均为正数，且 ad bc.(1)证明：若 a db c，则| a d|b c|；(2)若 t ，求实数 t 的取值范围a2 b2 c2 d2 a4 c4 b4 d4解：(1)证明：由 a db c，且 a， b， c， d 均为正数，得( a d)2(b c)2，又 ad bc，所以( a d)2(b c)2
8、，即| a d|b c|.(2)因为( a2 b2)(c2 d2) a2c2 a2d2 b2c2 b2d2 a2c22 abcd b2d2( ac bd)2，所以 t t(ac bd)a2 b2 c2 d2由于 ac, bd，a4 c4 2 b4 d4 2又已知 t ，a2 b2 c2 d2 a4 c4 b4 d4则 t(ac bd) (ac bd)，故 t ，当且仅当 a c， b d 时取等号2 2所以实数 t 的取值范围为 ，)28已知函数 f(x)| x1|.(1)解不等式 f(2x) f(x4)8；(2)若| a|f .f ab|a| (ba)解：(1) f(2x) f(x4)|2 x1| x3|Error!当 xf 等价于 f(ab)|a|f ，即| ab1| a b|.f ab|a| (ba) (ba)因为| a|0，所以| ab1| a b|.故所证不等式成立.
