1、1高考达标检测（二十九） 求解空间几何体问题的 2 环节识图与计算一、选择题1(2018大连调研)如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中点 P 是棱 CD 上一点，则三棱锥PA1B1A 的侧视图是( )解析：选 D 在长方体 ABCDA1B1C1D1中，从左侧看三棱锥 PA1B1A， B1， A1， A 的射影分别是 C1， D1， D； AB1的射影为 C1D，且为实线， PA1的射影为 PD1，且为虚线故选 D.2.(2017永州一模)如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为( )A1 B.52C. D26 3解析：选 D 由
2、题意得，该几何体的直观图为三棱锥 ABCD，如图，其最大面的表面是边长为 2 的等边三角形，故其面积为 (2 )22 .234 2 33已知某空间几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 2448，则该几何体的表面积为( )2A2448 B24906 41C4848 D24666 41解析：选 D 由三视图可知，该几何体是一个组合体，左边是一个底面半径为 3r、高为 4r 的四分之一圆锥，右边是一个底面是直角边长为 3r 的等腰直角三角形、高为 4r 的三棱锥，则 (3 r)24r 3r3r4r2448，解得 r2，则该几何体的表14 13 13 12面积为 610 6 2 662 68 6
3、 24666 .14 14 12 12 12 2 82 414已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A6012 B606C7212 D726解析：选 D 根据三视图知该几何体是直四棱柱，挖去一个半圆柱体，且四棱柱的底面是等腰梯形，高为 3，所以该组合体的体积为 V (48)43 2 23726.12 125某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为 1 的正方形，则此四面体的外接球的体积为( )A. B343C. D32解析：选 C 由三视图可知，该几何体是棱长为 1 的正方体截去 4 个角的小三棱锥后3的几何体，如图所示，该几何体的外接球的直径等于正方体的对角
4、线，即 R ，所以外32接球的体积 V R3 .43 326某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A72 B48C24 D16解析：选 C 由三视图可知，该几何体是一四棱锥，底面是上、下底边长分别为 2,4，高是 6 的直角梯形，棱锥的高是 4，则该几何体的体积 V (24)6424.13 127已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为( )A. B. 1235 1243C. D. 1534 1615解析：选 D 由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是两腰长为 3、底边长为 4 的等腰三角形，过底面等腰三角形顶点的侧棱长为 4 且垂直于底面设等腰三角形的顶角为 ，
5、由余弦定理可得 cos ，sin ，由正弦定理可得底面三角32 32 42233 19 459形外接圆的直径 2r ，则球的直径 2R ，所以外接球的表面积为95 42 (95)2 1615.16158(2016全国卷)在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V 的球若AB BC， AB6， BC8， AA13，则 V 的最大值是( )4A4 B.92C6 D.323解析：选 B 设球的半径为 R， ABC 的内切圆半径为 2，6 8 102 R2.又 2R3， R ，32 Vmax 3 .43 (32) 92二、填空题9四面体 ABCD 中，若 AB CD ， AC BD ， A
6、D BC2，则四面体 ABCD 的外2 3接球的体积是_解析：作一个长方体，面对角线分别为 ， ，2，2 3设长方体的三棱长分别为 x， y， z，则Error! 则该长方体的体对角线为 ，x2 y2 z2322则该长方体的外接球即为四面体 ABCD 的外接球，则外接球的半径为 R ，体积为 V 3 .x2 y2 z22 324 43 (324) 928答案： 92810.三条侧棱两两垂直的正三棱锥，其俯视图如图所示，正视图是底边长为 2 的等腰三角形，则正视图的面积为_解析：因为正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且底面是边长为 2 的正三角形，则该正三棱锥的侧棱长为 ，其三棱锥的高 即为正视图的2
7、 2 2 (233)2 63高，又正视图是底边长为 2 的等腰三角形，则正视图的面积 S 2 .12 63 63答案：6311若三棱锥 SABC 的所有的顶点都在球 O 的球面上， SA平面ABC， SA AB2， AC4， BAC ，则球 O 的表面积为_ 3解析：由题意，得三棱锥 SABC 是长方体的一部分(如图所示)，5所以球 O 是该长方体的外接球，其中 SA AB2， AC4，设球的半径为 R，则 2R 2 ，AC2 SA2 42 22 5所以球 O 的表面积为 4 R220.答案：2012(2017新余二模)已知 A， B， C 是球 O 的球面上三点，AB2， AC2 ， ABC
8、60 ，且三棱锥 OABC 的体积为 ，则球 O 的表面积为3463_解析： AB2， AC2 ， ABC60，3在 ABC 中，由正弦定理，得 ，解得 sin C ，2sin C 23sin 60 12又 0C120， C30， A90， BC 4，4 12 A， B， C 是球 O 的球面上三点， ABC 外接圆的圆心为 BC 的中点，故 ABC 外接圆的半径为 2.设球心 O 到平面 ABC 的距离为 d，三棱锥 OABC 的体积为 ，463 22 d ， d2 ，13 12 3 463 2球 O 的半径 R 2 ， 22 2 22 3球 O 的表面积为 4 R248.答案：48三、解答
9、题13.如图，在四棱锥 PABCD 中，底面为正方形， PC 与底面 ABCD 垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为 6 cm 的全等的等腰直角三角形(1)根据所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求 PA.解：(1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)边长为 6 cm 的正方形，如图，其面积为 36 cm2.6(2)由侧视图可求得 PD 6 .PC2 CD2 62 62 2由正视图可知 AD6，且 AD PD，所以在 Rt APD 中，PA 6 (cm)PD2 AD2 62 2 62 314(2015全国卷)如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中，A
10、B16， BC10， AA18，点 E， F 分别在 A1B1， D1C1上，A1E D1F4.过点 E， F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值解：(1)交线围成的正方形 EHGF 如图所示(2)如图，作 EM AB，垂足为 M，则 AM A1E4， EB112， EM AA18.因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EH EF BC10.于是 MH 6， AH10， HB6.EH2 EM2故 S 四边形 A1EHA (410)856，12S 四边形 EB1BH (126)872.12
11、因为长方体被平面 分成两个高为 10 的直棱柱，所以其体积的比值为 .97(79也 正 确 )1一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B51437C. D6163解析：选 A 由三视图可知该几何体是直三棱柱 ABDEFG 和四棱锥CBDGF 的组合体，如图，直三棱柱的底面是一个直角三角形，两条直角边分别是 1,2，高是 2，则该几何体的体积 V V 三棱柱 ABDEFG V 四棱锥 CBDGF V 三棱柱 ABDEFG V 三棱锥 CDFG V 三棱锥 CBDF V 三棱柱 ABDEFG V 三棱锥 FCDG V 三棱锥 FBDC 122 222 222 .12 13 12 13 12 1432如图，是某几何体的三视图，则这个几何体的体积是( )A2 B2 2 3C4 D4 3 2解析：选 A 由三视图可知，该几何体是一个组合体：一个是底面半径为 1、高为 1 的圆柱的一半，另一个是底面直角边长为 的等腰直角三角形、高为 2 的直三棱柱，所以该2几何体的体积 V 2 1 212 .12 2 2 12 2
