1、1高考达标检测（三十六） 双曲线命题 3 角度用定义、求方程、研性质一、选择题1若双曲线 C1： 1 与 C2： 1( a0， b0)的渐近线相同，且双曲线x22 y28 x2a2 y2b2C2的焦距为 4 ，则 b( )5A2 B4C6 D8解析：选 B 由题意得， 2 b2 a， C2的焦距 2c4 c 2 b4.ba 5 a2 b2 52椭圆 1( mn0)与双曲线 1( a0， b0)的公共焦点为 F1， F2，若 Px2m2 y2n2 x2a2 y2b2是两曲线的一个交点，则| PF1|PF2|的值是( )A m a B m2 a2C. D. m a2 m a解析：选 B 由题意，不
2、妨设 P 在双曲线的右支上，则| PF1| PF2|2 m，| PF1| PF2|2 a，| PF1| m a，| PF2| m a，| PF1|PF2| m2 a2.3在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 C1：2 x2 y21，过 C1的左顶点引 C1的一条渐近线的平行线，则该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积为( )A. B.24 22C. D.28 216解析：选 C 双曲线 C1：2 x2 y21，即 y21，x212所以左顶点 A ，(22， 0)渐近线方程 y x，2过点 A 与渐近线 y x 平行的直线方程为2y ，即 y x1.2(x22) 2解方程组Erro
3、r!得Error!2所以该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积 S |OA|y| 12 12 22 12.284已知双曲线 E： 1( a0， b0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，| F1F2|6， P 是 E 右支上一点， PF1与 y 轴交于点 A， PAF2的内切圆在边 AF2上的切点为 Q，若| AQ| ，则 E 的离心率为( )3A2 B.3 5C. D.3 2解析：选 C 如图，设 PAF2的内切圆在边 PF2上的切点为 M，在AP 上的切点为 N，则| PM| PN|，| AQ| AN| ，| QF2| MF2|，3由双曲线的对称性可得，|AF1|
4、AF2| AQ| QF2| | QF2|，3由双曲线的定义可得，|PF1| PF2| PA| AF1| PM| MF2| | QF2| AN| NP| PM| MF2|32 2 a，3解得 a ，又| F1F2|6，则 c3，3故离心率 e .ca 35已知双曲线 C： 1( a0， b0)的右焦点为 F，以 F 为圆心和双曲线的渐近线x2a2 y2b2相切的圆与双曲线的一个交点为 M，且 MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线 C 的离心率为( )A. B.52 5C. D22解析：选 C 将 x c 代入双曲线方程可得| y| ，b2a因为以 F 为圆心和双曲线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交
5、点为 M，且 MF 与双曲线的实轴垂直，所以圆的半径为 ，b2a又双曲线的渐近线方程为 bxay0，所以 ，化简可得 a b，bcb2 a2 b2a则双曲线的离心离为 .236(2018东北四校联考)已知点 F1， F2为双曲线 C： 1( a0， b0)的左、x2a2 y2b2右焦点，点 P 在双曲线 C 的右支上，且满足| PF2| F1F2|， F1F2P120，则双曲线的离心率为( )A. B.3 12 5 12C. D.3 5解析：选 A 如图，在 PF1F2中，| PF2| F1F2|2 c，又 F1F2P120，由余弦定理可得|PF1|2| F1F2|2| PF2|22| F1F
6、2|PF2|cos 12012 c2，所以|PF1|2 c.3由双曲线的定义可得 2a| PF1| PF2|2 c2 c2( 1) c.3 3故双曲线的离心率 e .2c2a 2c2 3 1 c 3 127已知双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2， O 为坐标原点， A 为x2a2 y2b2右顶点， P 为双曲线左支上一点，若 存在最小值为 12a，则双曲线在一、三象|PF2|2|PF1| |OA|限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为( )A. B.15 12C. D. 265 35解析：选 A 设| PF1| OA| m，则 m 6 a12 a，|PF2|2|PF1|
7、|OA| 3a m 2m 9a2m当且仅当 m3 a 时取等号，| PF1|4 a，4 a c a，5 a c，25 a2 a2 b2， 2 ，ba 6设双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角为 ，则 0tan 2 ，cos ，615双曲线在一、三象限的渐近线倾斜角的余弦值的最小值为 .158设双曲线 1( a0， b0)的右焦点为 F，过 F 作与 x 轴垂直的直线 l 与两条x2a2 y2b2渐近线相交于 A， B 两点， P 是直线 l 与双曲线的一个交点设 O 为坐标原点，若有实数4m， n，使得 m n ，且 mn ，则该双曲线的离心率为( )OP OA OB 29A. B.324 98C
8、. D. 355 322解析：选 A 由题意可知双曲线 1( a0， b0)的右焦点为 F(c,0)，渐近线方程x2a2 y2b2为 y x，ba则 A ， B ，(c，bca) (c， bca)所以 m n ，OP OA OB ( m n c， m n bca)可得 P ，( m n c， m nbca)代入双曲线方程 1，x2a2 y2b2得 1， m n c2a2 m n bca2b2由 e ，整理得：4 e2mn1，ca又 mn ，所以 e .29 324二、填空题9(2017江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y21 的右准线与它的两x23条渐近线分别交于点 P， Q，其
9、焦点是 F1， F2，则四边形 F1PF2Q 的面积是_解析：由题意得，双曲线的右准线 x 与两条渐近线 y x 的交点坐标为32 33.(32， 32)不妨设双曲线的左、右焦点分别为 F1， F2，则 F1(2,0)， F2(2,0)，故四边形 F1PF2Q 的面积是 |F1F2|PQ| 4 2 .12 12 3 3答案：2 3510(2017山东高考)在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 1( a0， b0)的右支x2a2 y2b2与焦点为 F 的抛物线 x22 py(p0)交于 A， B 两点若| AF| BF|4| OF|，则该双曲线的渐近线方程为_解析：设 A(x1， y1)， B(
10、x2， y2)，由抛物线的定义可知|AF| y1 ，| BF| y2 ，| OF| ，p2 p2 p2由| AF| BF| y1 y2 y1 y2 pp2 p24| OF|2 p，得 y1 y2 p.联立Error! 消去 x，得 a2y22 pb2y a2b20，所以 y1 y2 ，所以 p，即 ，故 ，2pb2a2 2pb2a2 b2a2 12 ba 22所以双曲线的渐近线方程为 y x.22答案： y x2211已知 F1， F2为双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点，过 F2作双曲线渐近x2a2 y2b2线的垂线，垂足为 P，若| PF1|2| PF2|2 c2，则双曲线的离心率
11、e_.解析：设双曲线 1( a0， b0)的一条渐近线方程为 y x， F2(c,0)到渐近x2a2 y2b2 ba线的距离为 d| PF2| b，cos POF2 ，bca2 b2 c2 b2c ac在 POF1中，| PF1|2| PO|2| OF1|22| PO|OF1|cos POF1 a2 c22 ac 3 a2 c2，(ac)则| PF1|2| PF2|23 a2 c2 b24 a2 c2， e 2.ca答案：212过双曲线 1( a0， b0)的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于x2a2 y2b2A， B 两点，与双曲线的渐近线交于 C， D 两点，若| AB| |CD|，
12、则双曲线的离心率 e 的取35值范围为_解析：设双曲线 1( a0， b0)的右焦点为( c,0)，x2a2 y2b26将 x c 代入双曲线 1，得 y ，x2a2 y2b2 b2a令 A ， B ，(c，b2a) (c， b2a)| AB| .将 x c 代入 y x，得 y ，2b2a ba bca令 C ， D ，(c，bca) (c， bca)| CD| .2bca| AB| |CD|， ，即 b c，35 2b2a 35 2bca 35则 b2 c2 a2 c2，925即 c2 a2， e2 ，即 e .1625 c2a2 2516 54答案： 54， )三、解答题13已知双曲线
13、C： 1(a0， b0)的离心率为 ，点 ( ， 0)是双曲线的一个顶x2a2 y2b2 3 3点(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点 F2作倾斜角为 30的直线，直线与双曲线交于不同的两点A， B，求| AB|.解： (1) 双曲线 C： 1(a0， b0)的离心率为 ，点 ( ， 0)是双曲线的一个顶x2a2 y2b2 3 3点，Error! 解得 c3， b ，6双曲线的方程为 1.x23 y26(2)双曲线 1 的右焦点为 F2(3,0)，x23 y26经过双曲线右焦点 F2且倾斜角为 30的直线的方程为 y (x3)33联立Error! 得 5x26 x270.设 A(x1，
14、 y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 .65 2757所以| AB| .1 13 ( 65)2 4( 275) 163514已知椭圆 C1的方程为 y21，双曲线 C2的左、右焦点分别是 C1的左、右顶点，x24而 C2的左、右顶点分别是 C1的左、右焦点， O 为坐标原点(1)求双曲线 C2的方程；(2)若直线 l： y kx 与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A 和 B，且 2，2 OA OB 求 k 的取值范围解：(1)设双曲线 C2的方程为 1( a0， b0)，x2a2 y2b2则 a2413， c24，再由 a2 b2 c2，得 b21，故双曲线 C2的方程
15、为 y21.x23(2)将 y kx 代入 y21，2x23得(13 k2)x26 kx90.2由直线 l 与双曲线 C2交于不同的两点，得Error! k21 且 k2 .13设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 .62k1 3k2 91 3k2 x1x2 y1y2 x1x2( kx1 )(kx2 )2 2( k21) x1x2 k(x1 x2)22 .3k2 73k2 1又 2，即 x1x2 y1y22，OA OB 2，即 0，解得 k23.3k2 73k2 1 3k2 93k2 1 13由得 k21，13故 k 的取值范围为 .( 1， 33) (3
16、3， 1)1(2018江西吉安一中测试)在等腰梯形 ABCD 中， AB CD，且8|AB|2，| AD|1，| CD|2 x，其中 x(0,1)，以 A， B 为焦点且过点 D 的双曲线的离心率为 e1，以 C， D 为焦点且过点 A 的椭圆的离心率为 e2，若对任意 x(0,1)，不等式t .21 4 1 1 4 12 5因为对任意 x(0,1)，不等式 t2，则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围为( )A. B.(0，62) (1， 62)C. D.(62， ) (1， 32)解析：选 B 设 M(x0， y0)， A1(0， a)， A2(0， a)，则 kMA1 ， kMA2 ，
17、y0 ax0 y0 ax0 kMA1kMA2 2.(*)y20 a2x20又点 M(x0， y0)在双曲线 1 上，y2a2 x2b2 y a2 ，代入(*)式化简得， 2， ，20 (x20b2 1) a2b2 b2a2 12 e21 ，解得 1 e .c2 a2a2 12 623已知双曲线 1 与点 M(5,3)， F 为右焦点，若双曲线上有一点 P，则x29 y227|PM| |PF|的最小值为_12解析：双曲线 1，焦点在 x 轴上， a3， b3 ， c 6. x29 y227 3 a2 b29双曲线的离心率 e 2，右准线 l： x ，ca a2c 32过 P 作 PN l 于点 N，由双曲线的第二定义可知： e，|PF|PN| PF| e|PN|2| PN|, | PN| |PF|，12因此| PM| |PF| PM| PN|，12当且仅当 M， N， P 三点共线时，| PM| |PF| MN|时取得最小值，12| PM| |PF|的最小值为 5 .12 32 72答案： 72
