1、1高考达标检测（五十八） 参数方程1(2017江苏高考)在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)，曲线 C 的参数方程为Error!( s 为参数)设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l的距离的最小值解：直线 l 的普通方程为 x2 y80.因为点 P 在曲线 C 上，设 P(2s2,2 s)，2从而点 P 到直线 l 的距离d .|2s2 42s 8|12 2 2 2 s 2 2 45当 s 时， dmin .2455因此当点 P 的坐标为(4,4)时，曲线 C 上点 P 到直线 l 的距离取到最小值 .4552已知曲线 C1：Erro
2、r!( t 为参数)，曲线 C2：Error!( 为参数)(1)化 C1， C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若 C1上的点 P 对应的参数为 t ， Q 为 C2上的动点，求 PQ 中点 M 到直线 2C3：Error! (t 为参数)的距离的最小值解：(1)曲线 C1：( x4) 2( y3) 21，曲线 C2： 1，x264 y29曲线 C1是以(4,3)为圆心，1 为半径的圆；曲线 C2是以坐标原点为中心，焦点在 x 轴上，长半轴长是 8，短半轴长是 3 的椭圆(2)当 t 时， P(4,4)， Q(8cos ，3sin )， 2故 M24cos ，2 sin .
3、32曲线 C3为直线 x2 y70，M 到 C3的距离 d |4cos 3sin 13|，55从而当 cos ，sin 时， d 取最小值 .45 35 8553在平面直角坐标系 xOy 中， C1的参数方程为Error!( t 为参数)，在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中， C2的极坐标方程 22 cos 30.(1)说明 C2是哪种曲线，并将 C2的方程化为普通方程；(2)C1与 C2有两个公共点 A， B，点 P 的极坐标 ，求线段 AB 的长及定点 P 到(2， 4)A， B 两点的距离之积2解：(1) C2是圆， C2的极坐标方程 22 cos 30，化为普通方程为
4、 x2 y22 x30，即( x1) 2 y24.(2)点 P 的直角坐标为(1,1)，且在直线 C1上，将 C1的参数方程Error!( t 为参数)代入 x2 y22 x30，得 2 22 30，化简得 t2 t30.(122t) (1 22t) (1 22t) 2设 A， B 对应的参数分别为 t1， t2，则 t1 t2 ， t1t23，2所以| AB| t1 t2| ， t1 t2 2 4t1t2 2 12 14定点 P 到 A， B 两点的距离之积| PA|PB| t1t2|3.4在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 的参数方程为Error!( 为参数)，直线 l 的参数方程为
5、Error!( t 为参数)，定点 P(1,1)(1)以原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴，单位长度与平面直角坐标系下的单位长度相同建立极坐标系，求圆 C 的极坐标方程；(2)已知直线 l 与圆 C 相交于 A， B 两点，求| PA| PB|的值解：(1)依题意得圆 C 的一般方程为( x1) 2 y24，将 x cos ， y sin 代入上式得 22 cos 30，所以圆 C 的极坐标方程为 22 cos 30.(2)因为定点 P(1,1)在直线 l 上，所以直线 l 的参数方程可表示为Error!( t 为参数)代入( x1) 2 y24，得 t2 t30.255设点 A， B
6、 分别对应的参数为 t1， t2，则 t1 t2 ， t1t23.255所以 t1， t2异号，不妨设 t10， t20，所以| PA| t1，| PB| t2，所以| PA| PB| t1 t2| .2555已知直线 l：Error!( t 为参数)，曲线 C1：Error!( 为参数)(1)设 l 与 C1相交于 A， B 两点，求| AB|；(2)若把曲线 C1上各点的横坐标压缩为原来的 倍，纵坐标压缩为原来的 倍，得到曲12 32线 C2，设点 P 是曲线 C2上的一个动点，求它到直线 l 距离的最小值解：(1)由已知得 l 的普通方程为 y (x1)， C1的普通方程为 x2 y21
7、，33联立方程Error!解得 l 与 C1的交点为 A(1,0)， B ，则| AB|1.(12， 32)(2)由题意，得 C2的参数方程为Error!( 为参数)，故点 P 的坐标为 ，(12cos ， 32sin )从而点 P 到直线 l 的距离是d sin 2，| 32cos 32sin 3|2 34 2 ( 4)当 sin 1 时， d 取得最小值，且最小值为 .( 4) 23 646在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)在以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 .31 2cos2(1)直接写出直线 l 的
8、普通方程、曲线 C 的直角坐标方程；(2)设曲线 C 上的点到直线 l 的距离为 d，求 d 的取值范围解：(1)直线 l 的普通方程为 x y30，曲线 C 的直角坐标方程为 3x2 y23.(2)曲线 C 的直角坐标方程为 3x2 y23，即 x2 1，y23曲线 C 上的点的坐标可表示为(cos ， sin )，3 d|cos 3sin 3|2 .|2sin( 6 ) 3|22sin( 6 ) 32 d 的最小值为 ， d 的最大值为 .12 22 52 522 d ，22 522即 d 的取值范围为 .22， 52247平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C：( x1) 2 y21.直线
9、 l 经过点 P(m,0)，且倾斜角为 ，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系 6(1)写出曲线 C 的极坐标方程与直线 l 的参数方程；(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A， B 两点，且| PA|PB|1，求实数 m 的值解：(1)曲线 C 的直角坐标方程为：( x1) 2 y21，即 x2 y22 x，即 22 cos ，所以曲线 C 的极坐标方程为 2cos .直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)(2)设 A， B 两点对应的参数分别为 t1， t2，将直线 l 的参数方程代入 x2 y22 x 中，得 t2( m )t m22 m0，3 3所以 t1t
10、2 m22 m，由题意得| m22 m|1，解得 m1 或 m1 或 m1 .2 28已知直线的参数方程是Error!( t 是参数)，圆 C 的极坐标方程为 4cos .( 4)(1)求圆心 C 的直角坐标；(2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线，求切线长的最小值解：(1) 4cos 2 cos 2 sin ，( 4) 2 2 22 cos 2 sin ，2 2圆 C 的直角坐标方程为 x2 y22 x2 y0，2 2即( x )2( y )24，2 2圆心的直角坐标为( ， )2 2(2)直线 l 上的点向圆 C 引切线，则切线长为(22t 2)2 (22t 42 2)2 4 4 ，t2 8t 48 t 4 2 32 2直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值为 4 .2
