1、1高考达标检测（十二） 函数单调性必考，导数工具离不了一、选择题1已知函数 f(x)ln x x23 x(aR)，则函数 f(x)的单调递增区间为( )A. B(1，)( ，12)C. 和(1，) D. 和(1，)( ，12) (0， 12)解析：选 D f( x) (x0)，2x2 3x 1x令 f( x)0，得 x 或 x1，当 01 时， f( x)0，12 12所以 f(x)的单调递增区间为 和(1，)(0，12)2(2017浙江高考)函数 y f(x)的导函数 y f( x)的图象如图所示，则函数y f(x)的图象可能是( )解析：选 D 由 f( x)的图象知， f( x)的图象有
2、三个零点，故 f(x)在这三个零点处取得极值，排除 A、B；记导函数 f( x)的零点从左到右分别为 x1， x2， x3，因为在(， x1)上 f( x)0，所以函数 f(x)在(， x1)上单调递减，排除 C，故选 D.3对于 R 上可导的任意函数 f(x)，若满足 0，则必有( )1 xf xA f(0) f(2)2 f(1) B f(0) f(2)2 f(1)C f(0) f(2)2 f(1) D f(0) f(2)2 f(1)解析：选 A 当 x1 时， f( x)0，此时函数 f(x)单调递减，当 x1 时， f( x)0，此时函数 f(x)单调递增，当 x1 时，函数 f(x)取
3、得极小值同时也取得最小值，2所以 f(0) f(1)， f(2) f(1)，则 f(0) f(2)2 f(1)4已知函数 f(x) xsin x， x1， x2 ，且 f(x1) f(x2)，那么( )( 2， 2)A x1 x20 B x1 x20C x x 0 D x x 021 2 21 2解析：选 D 由 f(x) xsin x 得 f( x)sin x xcos xcos x(tan x x)，当 x 时， f( x)0，即 f(x)在 上为增函数，(0， 2) (0， 2)又 f( x) xsin( x) xsin x，因而 f(x)为偶函数，当 f(x1) f(x2)时，有 f(
4、|x1|) f(|x2|)，| x1| x2|， x x 0，故选 D.21 25(2017吉林长春三模)定义在 R 上的函数 f(x)满足： f( x) f(x)恒成立，若x1 x2，则 ex1f(x2)与 ex2f(x1)的大小关系为( )Ae x1f(x2)e x2f(x1)Be x1f(x2)e x2f(x1)Ce x1f(x2)e x2f(x1)De x1f(x2)与 ex2f(x1)的大小关系不确定解析：选 A 设 g(x) ，则 g( x) f xex f x ex f x ex ex 2，由题意知 g( x)0，所以 g(x)单调递增，当 x1 x2时， g(x1) g(x2)
5、，f x f xex即 ，所以 ex1f(x2)e x2f(x1)f x1ex1 f x2ex26已知定义在 R 上的函数 y f(x)满足条件 f(x4) f(x)，且函数 y f(x2)是偶函数，当 x(0,2时， f(x)ln x ax ，当 x 2,0)时， f(x)的最小值为 3，(a12)则 a 的值为( )Ae 2 BeC2 D1解析：选 A 因为函数 y f(x2)是偶函数，即对称轴为 x0，所以函数 y f(x)的对称轴为 x2，当 x2,4)时，4 x(0,2，所以 f(x) f(4 x)ln(4 x) a(4 x)因为 f(x4) f(x)，所以 x2,0)时， x42,
6、4)，3f(x) f(x4)ln4( x4) a4( x4)ln( x) ax，所以 f( x) a，令 f( x)0，得 x ，1x 1a因为 a ，所以 (2,0)，12 1a当2 x0，1a 1a所以 f(x)在 上是减函数，在 上是增函数， 2， 1a) ( 1a， 0)所以当 x 时， f(x)取得最小值 f ln 1，1a ( 1a) (1a)因为 f(x)在2,0)上的最小值为 3，所以ln 13，解得 ae 2.(1a)二、填空题7设函数 f(x) x(ex1) x2，则函数 f(x)的单调增区间为_12解析：因为 f(x) x(ex1) x2，12所以 f( x)e x1 x
7、ex x(e x1)( x1)令 f( x)0，即(e x1)( x1)0，解得 x(，1)或 x(0，)所以函数 f(x)的单调增区间为(，1)和(0，)答案：(，1)和(0，)8已知函数 f(x) xln x ax2 x.若函数 f(x)在定义域上为减函数，则实数 a 的取值范围是_解析：由题意可知函数 f(x)的定义域为(0，)f( x)ln x2 ax，因为函数 f(x)在定义域上为减函数，所以 ln x2 ax0，即 a 在(0，)上恒成立，ln x2x令 g(x) ，则 g( x) ，ln x2x 1 ln x2x2当 00；当 xe 时， g( x)0，得 0x2.由 f( x)
8、0，13所以 g(x)在 a，)上为增函数令 h(x) x3 x a，则 h( x) x21.13令 h( x)0，得 x1，所以 h(x)在(，1)和(1，)上是增函数，在(1,1)上为减函数(1)因为 f(x)在 R 上是增函数，所以 h(x)在(， a)上为增函数，所以 a1.故 a 的取值范围为(，1(2)因为函数 f(x)在 R 上不单调，所以 a1.6当10)图象的两条不同切线，求实数 a 的取(0， 13)值范围解：(1) f( x) . ax2 x a 1x ax a 1 x 1x当 a 时， f( x)0，此时， f(x)在(0，)上是减函数128当 a0 时，由 f( x)
9、0，得 x1；由 f( x)0，得 1 1.12 1a 1a此时， f(x)在(0,1)和 上是减函数，在 上是增函数(1a 1， ) (1， 1a 1)(2)y x3 x22 x， y x2 ax2，设点 P (t0)是函数13 a2 (t， 13t3 a2t2 2t)y g(x) f(x)图象上的切点，则过点 P 的切线的斜率为 k t2 at2，所以过点 P 的切线方程为 y t3 t22 t( t2 at2)( x t)13 a2因为点 在切线上，(0， 13)所以 t3 t22 t( t2 at2)(0 t)，13 13 a2即 t3 at2 0.23 12 13若过点 可作函数 y g(x) f(x)图象的两条不同切线，(0， 13)则方程 t3 at2 0 有两个不同的正数解23 12 13令 h(x) x3 ax2 ，则函数 y h(x)与 x 轴正半轴有两个不同的交点23 12 13令 h( x)2 x2 ax0，解得 x0 或 x .a2因为 h(0) ， h a3 ，13 (a2) 124 13所以必须 a0，且 h a3 2.(a2) 124 13所以实数 a 的取值范围为(2，)
