1、1高考达标检测（四十三） 圆锥曲线的综合问题定点、定值、探索性问题1.如图，已知椭圆 C： 1( a b0)的离心率是 ，其中一个顶x2a2 y2b2 32点为 B(0,1)(1)求椭圆 C的方程；(2)设 P， Q是椭圆 C上异于点 B的任意两点，且 BP BQ.试问：直线 PQ是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由. 解：(1)设椭圆 C的半焦距为 c.依题意，得 b1，且 e2 ，c2a2 a2 1a2 34解得 a24，所以椭圆 C的方程为 y21.x24(2)直线 PQ恒过定点法一：易知，直线 PQ的斜率存在，设其方程为 y kx m， P(x1， y1)， Q(x
2、2， y2)，将直线 PQ的方程代入 x24 y24，消去 y，整理得 (14 k2)x28 kmx4 m240.则 x1 x2 ， x1x2 . 8km1 4k2 4m2 41 4k2因为 BP BQ，且直线 BP， BQ的斜率均存在，所以 1，y1 1x1 y2 1x2整理得 x1x2 y1y2( y1 y2)10. 因为 y1 kx1 m， y2 kx2 m，所以 y1 y2 k(x1 x2)2 m， y1y2 k2x1x2 mk(x1 x2) m2. 将代入，整理得(1 k2)x1x2 k(m1)( x1 x2)( m1) 20. 将代入，整理得 5m22 m30.解得 m 或 m1(
3、舍去)35所以直线 PQ恒过定点 .(0， 35)法二：直线 BP， BQ的斜率均存在，设直线 BP的方程为 y kx1.将直线 BP的方程代入 x24 y24，消去 y，得 (14 k2)x28 kx0.解得 x0 或 x . 8k1 4k22设 P(x1， y1)，所以 x1 ， y1 kx11 ， 8k1 4k2 1 4k21 4k2所以 P .( 8k1 4k2， 1 4k21 4k2)以 替换点 P坐标中的 k，可得 Q .1k ( 8kk2 4， k2 4k2 4)从而，直线 PQ的方程是 .y 1 4k21 4k2k2 4k2 4 1 4k21 4k2x 8k1 4k28kk2
4、4 8k1 4k2依题意，若直线 PQ过定点，则定点必定在 y轴上在上述方程中，令 x0，解得 y .35所以直线 PQ恒过定点 .(0， 35)2已知椭圆 C： 1( a b0)的离心率为 ，短轴端点到焦点的距离为 2.x2a2 y2b2 32(1)求椭圆 C的方程；(2)设 A， B为椭圆 C上任意两点， O为坐标原点，且 OA OB. 求证：原点 O到直线 AB的距离为定值，并求出该定值解：(1)由题意知， e ， 2，ca 32 b2 c2又 a2 b2 c2，所以 a2， c ， b1，3所以椭圆 C的方程为 y21.x24(2)证明：当直线 AB的斜率不存在时，直线 AB的方程为
5、x ，此时，原点 O到255直线 AB的距离为 .255当直线 AB的斜率存在时，设直线 AB的方程为 y kx m， A(x1， y1)， B(x2， y2)由Error! 得(14 k2)x28 kmx4 m240.则 (8 km)24(14 k2)(4m24)16(14 k2 m2)0，x1 x2 ， x1x2 ，8km1 4k2 4m2 41 4k2则 y1y2( kx1 m)(kx2 m) ，m2 4k21 4k2由 OA OB得 kOAkOB1，即 1，y1x1 y2x23所以 x1x2 y1y2 0，即 m2 (1 k2)，5m2 4 4k21 4k2 45所以原点 O到直线 A
6、B的距离为 .|m|1 k2 255综上，原点 O到直线 AB的距离为定值 .2553已知椭圆 C： 1( a b0)的离心率为 ，以原点 O为圆心，椭圆 C的长半x2a2 y2b2 63轴长为半径的圆与直线 2x y60 相切2(1)求椭圆 C的标准方程；(2)已知点 A， B为动直线 y k(x2)( k0)与椭圆 C的两个交点，问：在 x轴上是否存在定点 E，使得 2 为定值？若存在，试求出点 E的坐标和定值；若不存EA EA AB 在，请说明理由解：(1)由 e ，得 ，63 ca 63即 c a， 63又以原点 O为圆心，椭圆 C的长半轴长为半径的圆为 x2 y2 a2，且该圆与直线
7、 2x y60 相切，2所以 a ，代入得 c2，|6|22 2 2 6所以 b2 a2 c22，所以椭圆 C的标准方程为 1.x26 y22(2)由Error!得(13 k2)x212 k2x12 k260.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，所以 x1 x2 ， x1x2 .12k21 3k2 12k2 61 3k2根据题意，假设 x轴上存在定点 E(m,0)，使得 2 ( ) 为定值，EA EA AB EA AB EA EA EB 则 ( x1 m， y1)(x2 m， y2)EA EB ( x1 m)(x2 m) y1y2( k21) x1x2(2 k2 m)(x1 x2)(
8、4 k2 m2)4 ， 3m2 12m 10 k2 m2 61 3k2要使上式为定值，即与 k无关，只需 3m212 m103( m26)，解得 m ，73此时， 2 m26 ，EA EA AB 59所以在 x轴上存在定点 E 使得 2 为定值，且定值为 .(73， 0) EA EA AB 594已知椭圆 C： 1( ab0)的右焦点为 F(1,0)，且点 P 在椭圆 C上， Ox2a2 y2b2 (1， 32)为坐标原点(1)求椭圆 C的标准方程；(2)设过定点 T(0,2)的直线 l与椭圆 C交于不同的两点 A， B，且 AOB为锐角，求直线 l的斜率 k的取值范围；(3)过椭圆 C1：
9、1 上异于其顶点的任一点 P，作圆 O： x2 y2 的两条切线，x2a2 y2b2 53 43切点分别为 M， N(M， N不在坐标轴上)，若直线 MN在 x轴、 y轴上的截距分别为 m， n，证明： 为定值13m2 1n2解：(1)由题意得 c1，所以 a2 b21， 又点 P 在椭圆 C上，所以 1， (1，32) 1a2 94b2由可解得 a24， b23，所以椭圆 C的标准方程为 1.x24 y23(2)设直线 l的方程为 y kx2， A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得(4 k23) x216 kx40，因为 16(12 k23)0，所以 k2 ，14则
10、x1 x2 ， x1x2 . 16k4k2 3 44k2 3因为 AOB为锐角，所以 0，即 x1x2 y1y20，OA OB 所以 x1x2( kx12)( kx22)0，所以(1 k2)x1x22 k(x1 x2)40，5即(1 k2) 2 k 40，44k2 3 16k4k2 3解得 k2 ，所以 k2 ，14 14 43解得 k 或 k .233 12 12 233所以直线 l的斜率 k的取值范围为 .(233， 12) (12， 233)(3)证明：由(1)知椭圆 C1的方程为 1，x24 3y24设 P(x0， y0)， M(x3， y3)， N(x4， y4)，因为 M， N不在
11、坐标轴上，所以 kPM ，1kOM x3y3直线 PM的方程为 y y3 (x x3)，x3y3化简得 x3x y3y ， 43同理可得直线 PN的方程为 x4x y4y . 43把 P点的坐标代入得Error!所以直线 MN的方程为 x0x y0y .43令 y0，得 m ，令 x0，得 n ，43x0 43y0所以 x0 ， y0 ，43m 43n又点 P在椭圆 C1上，所以 23 24，即 ，为定值(43m) (43n) 13m2 1n2 34已知椭圆的两个焦点为 F1( ，0)， F2( ，0)， M是椭圆上一点，5 5若 0，| | |8.MF1 MF2 MF1 MF2 (1)求椭圆
12、的方程；(2)直线 l过右焦点 F2( ，0) (不与 x轴重合)且与椭圆相交于不同的两点 A， B，在5x轴上是否存在一个定点 P(x0,0)，使得 的值为定值？若存在，写出 P点的坐标；PA PB 6若不存在，说明理由解：(1)由题意知椭圆的焦点在 x轴上，设椭圆的方程为 1( a b0), x2a2 y2b2则 c ，| |2| |2(2 c)220.5 MF1 MF2 又| | |8，(| | |)MF1 MF2 MF1 MF2 2| |2| |22| | |36，MF1 MF2 MF1 MF2 解得| | |6，即 2a6，MF1 MF2 则 a3， b2 a2 c24，椭圆的方程为
13、 1.x29 y24(2)当直线与 x轴不垂直时，设直线 l的方程为 y k(x )，代入椭圆方程并消元整5理得，(9 k24) x218 k2x 45k2360.5设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ， 185k24 9k2 45k2 364 9k2y1y2 k2(x1 )(x2 ) k2x1x2 (x1 x2)5 ，5 5 516k24 9k2所以 ( x1 x0， y1)(x2 x0， y2)PA PB ( x1 x0)(x2 x0) y1y2 x1x2 x0(x1 x2) x y1y220 . 9x20 185x0 29 k2 4x20 364 9k2令 t，PA PB 则(9 x 18 x029) k24 x 36 t(49 k2)，20 5 20故 9x 18 x0299 t且 4x 364 t，20 5 20解得 x0 ，此时 的值为 .1159 PA PB 12481当直线 l与 x轴垂直时， l的方程为 x ，代入椭圆方程解得5A ， B ，(5， 43) (5， 43)所以 ，PA PB ( 259， 43) ( 259， 43) 2081 169 12481综上，在 x轴上存在一个定点 P ，使得 的值为定值.(1159 ， 0) PA PB
