1、1高考达标检测（二十四） 等比数列的 3 考点基本运算、判定和应用一、选择题1若等差数列 an和等比数列 bn满足 a1 b11， a4 b48，则 ( )a2b2A1 B1C. D212解析：选 B 设等差数列 an的公差为 d，等比数列 bn的公比为 q，则 a413 d8，解得 d3；b41 q38，解得 q2.所以 a2132， b21(2)2，所以 1.a2b22(2018海口调研)设 Sn为等比数列 an的前 n 项和， a28 a50，则 的值为( )S8S4A. B.12 1716C2 D17解析：选 B 设 an的公比为 q，依题意得 q3，因此 q .a5a2 18 12注
2、意到 a5 a6 a7 a8 q4(a1 a2 a3 a4)，即有 S8 S4 q4S4，因此 S8( q41) S4， q41 .S8S4 17163在等比数列 an中， a1， a5为方程 x210 x160 的两根，则 a3( )A4 B5C4 D5解析：选 A a1， a5为方程 x210 x160 的两根， a1 a510， a1a516，则 a1， a5为正数，在等比数列 an中， a a1a516，则 a34，23 a1， a5为正数， a34.4已知 Sn是等比数列 an的前 n 项和，若存在 mN *，满足 9， ，则S2mSm a2mam 5m 1m 1数列 an的公比为(
3、 )A2 B2C3 D32解析：选 B 设数列 an的公比为 q，若 q1，则 2，与题中条件矛盾，故 q1.S2mSm qm19， qm8.S2mSma1 1 q2m1 qa1 1 qm1 q qm8 ，a2mam a1q2m 1a1qm 1 5m 1m 1 m3， q38， q2.5已知等比数列 an的各项均为不等于 1 的正数，数列 bn满足 bnlg an， b318， b612，则数列 bn的前 n 项和的最大值为( )A126 B130C132 D134解析：选 C 设等比数列 an的公比为 q(q0)，由题意可知，lg a3 b3，lg a6 b6.又 b318， b612，则
4、a1q210 18， a1q510 12， q310 6 ，即 q10 2 ， a110 22.又 an为正项等比数列， bn为等差数列，且公差 d2， b122，数列 bn的前 n 项和 Sn22 n (2) n223 n 2 .n n 12 (n 232) 5294又 nN *，故 n11 或 12 时，( Sn)max132.6正项等比数列 an中，存在两项 am， an，使得 4 a1，且 a6 a52 a4，则 aman1m的最小值是( )4nA. B2 32C. D.73 256解析：选 A 设等比数列 an的公比为 q，其中 q0，于是有 a4q2 a4q2 a4，即 q2 q2
5、0，( q1)( q2)0( q0)，由此解得 q2.由 aman16 a ，得 a 2m n2 16 a ，21 21 21故 m n6，其中 m， nN *，3 (m n) ，1m 4n 161m 4n 5 nm 4mn6 5 2 nm4mn6 32当且仅当 ，即 m2， n4 时等号成立，nm 4mn 的最小值为 .1m 4n 32二、填空题7已知数列 an满足 a1， ， ， 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，则a2a1a3a2 anan 1a101_.解析：因为数列 an满足 a1， ， ， 是首项为 1，公比为 2 的等比数列，a2a1a3a2 anan 1所以 a11， 2
6、n1 ，anan 1所以 an a1 a2a1 a3a2 anan 1122 22n1 2 12( n1)2-)(，当 n1 时， a11 满足上式，故 an2-)(1，所以 a1012 2 5 050. 101 101 12答案：2 5 0508(2017辽宁一模)在等比数列 an中，若 a7 a8 a9 a10 ， a8a9 ，则 158 98 1a7 _.1a8 1a9 1a10解析：因为 ， ，1a7 1a10 a7 a10a7a10 1a8 1a9 a8 a9a8a9由等比数列的性质知 a7a10 a8a9， 所以 .1a7 1a8 1a9 1a10 a7 a8 a9 a10a8a9
7、 158 ( 98) 53答案：539设数列 an的前 n 项和为 Sn(nN *)，关于数列 an有下列四个命题：若 an既是等差数列又是等比数列，则 an an1 (nN *)；若 Sn an2 bn(a， bR)，则 an是等差数列；4若 Sn1(1) n，则 an是等比数列；若 S11， S22，且 Sn1 3 Sn2 Sn1 0( n2)，则数列 an是等比数列其中真命题的序号是_解析：若 an既是等差数列又是等比数列，设其前三项分别为： a d， a， a d(d 为公差)，则 a2( a d)(a d)，解得 d0，因此 an an1 (nN *)，正确；由 Sn an2 bn(
8、a， bR)是数列 an为等差数列的充要条件，可知正确；若 Sn1(1) n，则 a12， n2 时， an Sn Sn1 2(1) n1 ，为等比数列，首项为 2，公比为1，因此正确；由 Sn1 3 Sn2 Sn1 0( n2)，可得 Sn1 Sn2( Sn Sn1 )，即 an1 2 an，又 S11， S22， a11， a21，可得 a2 a1，数列 an不是等比数列，错误故真命题的序号是.答案：三、解答题10已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 an (nN *)Sn n2(1)若数列 an t是等比数列，求 t 的值；(2)求数列 an的通项公式；(3)记 bn ，求数列 bn
9、的前 n 项和 Tn.1an 1 1anan 1解：(1)当 n1 时，由 a1 ，得 a11.S1 12 a1 12当 n2 时， an Sn Sn1 2 an n2 an1 ( n1)，即 an2 an1 1， a23， a37.依题意，得(3 t)2(1 t)(7 t)，解得 t1，当 t1 时， an12( an1 1)， n2，即 an1为等比数列成立，故实数 t 的值为 1.(2)由(1)，知当 n2 时， an12( an1 1)，又因为 a112，所以数列 an1是以 2 为首项，2 为公比的等比数列所以 an122 n1 2 n，5 an2 n1.(3)由(2)，知 bn 1
10、an 1 1anan 1 an 1anan 1 2n 2n 1 2n 1 1 12n 1，12n 1 1则Tn 12 1 122 1 122 1 123 1 123 1 124 1 12n 1 1 12n 1 12n 11 .12n 1 1 12n 1 111已知数列 an满足 a11， a23， an2 3 an1 2 an(nN *)(1)证明：数列 an1 an是等比数列；(2)设 bn ， Tn是数列 bn的前 n 项和，证明： Tn .2n 1anan 1 12证明：(1) an2 3 an1 2 an， an2 an1 2( an1 an)，又 a2 a1312，数列 an1 an
11、是首项为 2、公比为 2 的等比数列(2)由(1)可知 an1 an2 n，显然数列 an是递增的， bn ，2n 1anan 1 12 2nanan 1 12 an 1 ananan 1 12(1an 1an 1)于是 Tn .12(1a1 1a2 1a2 1a3 1an 1an 1) 12(1a1 1an 1) 12(1 1an 1)1212已知数列 an的前 n 项和是 Sn，且 Sn an1( nN *)13(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bnlog 4(1 Sn1 )(nN *)， Tn ，求 Tn的取值范1b1b2 1b2b3 1bnbn 1围解：(1)当 n1 时， a1
12、 S1，由 S1 a11，得 a1 ，13 34当 n2 时， Sn an1， Sn1 an1 1，13 13两式相减得， Sn Sn1 (an an1 )0， an an1 .13 14 an是以 为首项， 为公比的等比数列34 14故 an n1 3 n(nN *)34(14) (14)6(2)由(1)知 1 Sn1 an1 n1 ，13 (14) bnlog 4(1 Sn1 )log 4 n1 ( n1)，(14) ，1bnbn 1 1 n 1 n 2 1n 1 1n 2故 Tn ，1b1b2 1b2b3 1bnbn 1 (12 13) (13 14) ( 1n 1 1n 2) 12 1
13、n 2 Tn ，16 12即 Tn的取值范围为 .16， 12)1数列 an是以 a 为首项， q 为公比的等比数列，数列 bn满足bn1 a1 a2 an，数列 cn2 b1 b2 bn，若 cn为等比数列，则 a q( )A. B32C. D65解析：选 B 由题意知 q1.因为数列 an是以 a 为首项， q 为公比的等比数列，所以 bn1 ，a1 q aqn1 q所以 cn2 n ，aq 1 q 2 1 q a1 q aqn 1 1 q 2要使 cn为等比数列，则 2 0 且 0，aq 1 q 2 1 q a1 q所以 a1， q2，则 a q3.2设 Sn是数列 an的前 n 项和，
14、已知 a13， an1 2 Sn3.(1)求数列 an的通项公式；(2)令 bn(2 n1) an，求数列 bn的前 n 项和 Tn.解：(1)当 n1 时， a22 S132 a139，当 n2 时， an1 2 Sn3，可得 an2 Sn1 3.两式相减得， an1 an2( Sn Sn1 )，即 an1 an2 an， an1 3 an，则 an a23n2 93 n2 3 n.又 an3 n对 n1 也成立，所以 an3 n.7(2)由(1)知， bn(2 n1) an(2 n1)3 n，故 Tn1333 253 3(2 n1)3 n，3Tn13 233 353 4(2 n1)3 n1 ，两式相减可得2 Tn32(3 23 33 n)(2 n1)3n1 32 (2 n1)3 n1 ，9 1 3n 11 3化简可得 Tn3( n1)3 n1 .
