1、1高考达标检测（三十五） 圆的方程命题 3 角度求方程、算最值、定轨迹一、选择题1原点位于圆 x2 y22 ax2 y( a1) 20( a1)的( )A圆内 B圆上C圆外 D均有可能解析：选 C 把原点坐标代入圆的方程得( a1) 20(a1)，所以点在圆外，故选 C.2已知圆 C 与直线 y x 及 x y40 都相切，圆心在直线 y x 上，则圆 C 的方程为( )A( x1) 2( y1) 22 B( x1) 2( y1) 22C( x1) 2( y1) 22 D( x1) 2( y1) 22解析：选 D 由题意知 x y0 和 x y40 之间的距离为 2 ，所以 r .|4|2 2
2、 2又因为 y x 与 x y0， x y40 均垂直，所以由 y x 和 x y0 联立得交点坐标为(0,0)，由 y x 和 x y40 联立得交点坐标为(2，2)，所以圆心坐标为(1，1)，所以圆 C 的标准方程为( x1) 2( y1) 22.3(2018广州测试)圆( x1) 2( y2) 21 关于直线 y x 对称的圆的方程为( )A( x2) 2( y1) 21 B( x1) 2( y2) 21C( x2) 2( y1) 21 D( x1) 2( y2) 21解析：选 A 圆心(1,2)关于直线 y x 对称的点为(2,1)，圆( x1) 2( y2) 21 关于直线 y x
3、对称的圆的方程为( x2) 2( y1) 21.4一束光线从点(1,1)出发，经 x 轴反射到圆 C：( x2) 2( y3) 21 上的最短路径长度是( )A4 B5C3 D2解析：选 A 由题意可得圆心 C(2,3)，半径为 r1, 点 A 关于 x 轴的对称点为A(1，1), 求得| A C|5, 故要求的最短路径的长为|A C| r514. 5已知点 M 是直线 3x4 y20 上的动点，点 N 为圆( x1) 2( y1) 21 上的动点，2则| MN|的最小值是( )A. B195C. D.45 135解析：选 C 因为圆心(1，1)到点 M 的距离的最小值为点(1，1)到直线3x
4、4 y20 的距离 d ，所以点 N 到点 M 的距离| MN|的最小值为 1 .| 3 4 2|5 95 95 456若圆( x3) 2( y5) 2 r2上有且只有两个点到直线 4x3 y2 的距离等于 1，则半径 r 的取值范围是( )A(4,6) B4,6C4,6) D(4,6解析：选 A 易求圆心(3，5)到直线 4x3 y2 的距离为 5.令 r4，可知圆上只有一点到已知直线的距离为 1；令 r6，可知圆上有三点到已知直线的距离为 1，所以半径 r 取值范围在(4,6)之间符合题意7已知圆 C 关于 x 轴对称，经过点(0,1)，且被 y 轴分成两段弧，弧长之比为 21，则圆的方程
5、为( )A x2 2(y33) 43B x2 2(y33) 13C. 2 y2(x33) 43D. 2 y2(x33) 13解析：选 C 设圆的方程为( xa)2 y2 r2(a0)，圆 C 与 y 轴交于点A(0,1)， B(0，1)，由弧长之比为 21，易知 OCA ACB 12060，则 tan 12 1260 ，所以 a| OC| ，即圆心坐标为 ， r2| AC|21 2|OA|OC| 1|OC| 3 33 (33， 0)2 .所以圆的方程为 2 y2 .(33) 43 (x33) 438已知圆 C：( x3) 2( y4) 21 和两点 A( m,0)， B(m，0)( m0)若圆
6、 C 上存在3点 P，使得 APB90，则 m 的最大值为( )A7 B6C5 D4解析：选 B 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的坐标为(3,4)，半径r1，且| AB|2 m，因为 APB90，连接 OP，易知| OP| |AB| m.要求 m 的最大值，12即求圆 C 上的点 P 到原点 O 的最大距离因为| OC| 5，所以32 42|OP|max| OC| r6，即 m 的最大值为 6.二、填空题9在平面直角坐标系内，若圆 C： x2 y22 ax4 ay5 a240 上所有的点均在第四象限内，则实数 a 的取值范围为_解析：圆 C 的标准方程为( x a)2( y2 a
7、)24，所以圆心为( a,2a)，半径 r2，故由题意知Error!解得 a2，故实数 a 的取值范围为(，2)答案：(，2)10当方程 x2 y2 kx2 y k20 所表示的圆的面积取最大值时，直线 y( k1)x2 的倾斜角 _.解析：由题意知，圆的半径 r 1，12 k2 4 4k2 12 4 3k2当半径 r 取最大值时，圆的面积最大，此时 k0， r1，所以直线方程为 y x2，则有 tan 1，又 0，)，故 .34答案：3411已知圆 C： x2 y22 x4 y10 的圆心在直线 ax by10 上，则 ab 的取值范围是_解析：把圆的方程化为标准方程为( x1) 2( y2
8、) 24，圆心坐标为(1,2)，根据题意可知，圆心在直线 ax by10 上，把圆心坐标代入直线方程得， a2 b10，即 a12 b，4则 ab(12 b)b2 b2 b2 2 ，(b14) 18 18当 b 时， ab 有最大值 ，故 ab 的取值范围为 .14 18 ( ， 18答案： ( ，1812已知圆 O： x2 y21，直线 x2 y50 上的动点 P，过点 P 作圆 O 的一条切线，切点为 A，则| PA|的最小值为_解析：过 O 作 OP 垂直于直线 x2 y50，过 P 作圆 O 的切线 PA，连接 OA，易知此时| PA|的值最小由点到直线的距离公式，得| OP| .|1
9、0 20 5|12 2 2 5又| OA|1，所以| PA| 2.|OP|2 |OA|2答案：2三、解答题13(2018湖南六校联考)已知直线 l：4 x3 y100，半径为 2 的圆 C 与 l 相切，圆心 C 在 x 轴上且在直线 l 的右上方(1)求圆 C 的方程；(2)过点 M(1,0)的直线与圆 C 交于 A， B 两点( A 在 x 轴上方)，问在 x 轴正半轴上是否存在定点 N，使得 x 轴平分 ANB？若存在，请求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设圆心 C(a,0) ，则 2 a0 或 a5(舍去)(a 52) |4a 10|5所以圆 C 的方程为 x2 y24
10、.(2)当直线 AB x 轴时， x 轴平分 ANB.当直线 AB 的斜率存在时，设直线 AB 的方程为 y k(x1)，N(t,0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)，由Error! 得( k21) x22 k2x k240，所以 x1 x2 ， x1x2 .2k2k2 1 k2 4k2 1若 x 轴平分 ANB，则 kAN kBN 0 0y1x1 t y2x2 t k x1 1x1 t k x2 1x2 t2x1x2( t1)( x1 x2)2 t0 2 t0 t4，2 k2 4k2 1 2k2 t 1k2 1所以当点 N 为(4,0)时，能使 x 轴平分 ANB.514在 OA
11、B 中，已知 O(0,0)， A(8,0)， B(0,6)， OAB 的内切圆的方程为( x2)2( y2) 24， P 是圆上一点(1)求点 P 到直线 l：4 x3 y110 的距离的最大值和最小值；(2)若 S| PO|2| PA|2| PB|2，求 S 的最大值和最小值解：(1)由题意得圆心(2,2)到直线 l：4 x3 y110 的距离 d 52，故点 P 到直线 l 的距离的最大值为 527，最小值|42 32 11|42 32 255为 523.(2)设点 P 的坐标为( x， y)，则 S x2 y2( x8) 2 y2 x2( y6) 23( x2 y24 x4 y)4 x1
12、004 x88，而( x2) 24，所以2 x22，即 0 x4，所以164 x0，所以 72 S88，即当 x0 时， Smax88，当 x4 时， Smin72.1已知圆 O： x2 y21，圆 B：( x3) 2( y4) 24， P 是平面内一动点，过点 P 作圆 O，圆 B 的切线，切点分别为 D， E，若| PE| PD|，则点 P 到坐标原点 O 的距离的最小值为_解析：设 P(x， y)，因为| PE| PD|，| PD|2| OD|2| PO|2，| PE|2| BE|2| PB|2，所以 x2 y21( x3) 2( y4) 24，整理得：3 x4 y110, 点 P 到坐
13、标原点 O 的距离的最小值就是点 O 到 3x4 y110 的距离， 所以点 P 到坐标原点 O 的距离的最小值为 .1132 42 115答案：1152已知圆 C 过点 P(1,1)，且与圆 M：( x2) 2( y2) 2 r2(r0)关于直线x y20 对称(1)求圆 C 的方程；(2)设 Q 为圆 C 上的一个动点，求 的最小值PQ MQ 解：(1)设圆心 C(a， b)，由已知得 M(2，2)，则Error! 解得Error!则圆 C 的方程为 x2 y2 r2，将点 P 的坐标代入得 r22，故圆 C 的方程为 x2 y22.6(2)设 Q(x， y)，则 x2 y22， ( x1， y1)( x2， y2) x2 y2 x y4 x y2.PQ MQ 令 x cos ， y sin ，2 2所以 x y2 (sin cos )22sin 2，PQ MQ 2 ( 4)又 min1，所以 的最小值为4.sin( 4) PQ MQ
