1、- 1 -2017-2018 学年度第二学期半期考试高二数学（理科）第 卷1、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分,在每小题给出的四项中，只有一项是符合题目要求的)1已知 i为虚数单位, 则复数 1i的模为（ ） A. 0 B. 2 C.1 D. 12命题“ ln),(0xx”的否定是（ ）A、 ,00B、 1ln),0(xxC、 1l)( D、 03命题“ 6”是命题“cos2”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4双曲线 的渐近线方程为（ ）2165xyA B C D45xy54yx54xy5.已知曲线 31yx在点 82,
2、P，则过 点的切线方程为（ ）A 260 B 1360xy C 31xy D 26.下列说法中错误的是（ ）A给定两个命题 ,pq，若 为真命题，则 pq、 都是假命题；B命题“若 230x，则 1x”的逆否命题是“若 1,x，则 230x”；- 2 -C若命题 1:,2xpR，则 0:pxR，使得 012x；D函数 ()f在 0处的导数存在，若 0(=:fq） ； 是 ()f的极值点，则是 q 的充要条件. 7如图， 06的二面角的棱上有 ,AB两点，直线 ,ACBD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 已知 4,8ABCD，则 的长为（ ）A 17 B7 C 2 D98.已知直线 0
3、()axyaR是圆 22:(1)()4Cxy的一条对称轴，过点(,)A向圆 作切线，切点为 B，则 |A（ ）A 6 B 1 C D 32 9与圆2xy及圆2820xy都外切的圆的圆心的轨迹为（ ）A椭圆 B双曲线一支 C抛物线 D圆 10 一个体积为 38cm的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（ ）A 2 B 21 C 216cm D 20c 11. 已知函数 ()fx的导函数为 ()fx，且满足 ()(1)lnfxfx，则 (1)f( )A e B C D e12.已知抛物线 y4:2的焦点是 F，过点 F 的直线与抛物线 C 相交于 P、Q 两点，且点 Q在第一象限，若 QP，则直
4、线 PQ 的斜率是（ ）A、 4B、1 C、 2D、 2第 卷二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分将答案填在答题卡上相应位置）13由曲线2yx和2所围图形的面积 S - 3 -14抛物线241yx的焦点坐标为 15安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安排方式共有 。16圆 C 经过点 (,1)M与圆22()(3)5xy相切于点 (,2)N,则圆 C 的方程为 三、解答题（本题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 10 分）函数ln,kfxR若曲线 yfx在点 ,ef处
5、的切线与直线20垂直，求 fx的单调递减区间和极小值（其中 为自然对数的底数）18.（本小题满分 12 分）已知公差不为零的等差数列 na的前 n 项和为 nS，若 10,且 124,a成等比数列（）求数列 n的通项公式；（）设数列 b满足 1nna，若数列 nb前 n 项和 T，证明 2n.19.（本小题满分 12 分）已知函数 2 1()cos3in()cos()2fxx.（）求函数 f在 0,的单调递减区间；（）在锐角 ABC中，内角 ， B， C，的对边分别为 a， b， c，已知 ()1fA，2a， siniba，求 A的面积.20.（本小题满分 12 分）如图，在斜三棱柱 1ABC
6、中，侧面 1AC与侧面 1BC都是菱形，- 4 -1160ACB， 2AC（）求证： 1；（）若 1，求平面 1B与平面 AB所成的锐二面角的余弦值21.（本小题满分 12 分）椭圆 C：21(0)xyab的离心率为 ，过其右焦点 F与长轴垂直的直线与23椭圆在第一象限相交于点 M， 1|F（）求椭圆 的标准方程；（）设椭圆 C的左顶点为 A，右顶点为 B，点 P是椭圆上的动点，且点 P与点 A，B不重合，直线 P与直线 3x相交于点 S，直线 与直线 3x相交于点 T，求证：以线段 ST为直径的圆恒过定点22.（本小题满分 12 分）设函数 )10(ln1)(xxf且（）求函数 的单调区间；
7、（）已知 ax12对任意 )1,0(成立，求实数 a的取值范围。第 20 题图- 5 -2017-2018 学年度第二学期半期考试高二数学（理科）参考答案及评分标准一.选择题：1-5 CCACB 6-10 DCCBB 11-12 BD二填空题：13 14(1，0) 1536 16 13 2201584()()796xy三解答题：17.由条件得 ， 2 分210kfxx曲线 在点 处的切线与直线 垂直，yf,ef 20x此切线的斜率为 0，即 ，有 ，得 ，4 分0f21kee ，21exfx由 得 ，由 得 6 分0f0fxe 在 上单调递减，在 上单调递增， 8 分x,e,e当 时， 取得极
8、小值 fln2f故 的单调递减区间为 ，极小值为 2 10 分fx0,e18.解析： （） 由题意知： 2 分214110 30450aadadS解 ，故数列 ；1adn.5 分（） 由 （）可知 ，1122nbnn8 分- 6 -则111.2352nTn .12 分19 解（1）由已知得 21()cos3incos2fxx1si23 分sin()6x22kkx又63x0,函数 在 的单调递减区间为 和 . 6 分()f0,35,6（2）由（1）知 ()sin(2)6fx锐角 ，ABC056A又 ()sin(2)16f，即 9 分3又 sinibCaA24bca. 12 分1si32ABS-
9、7 -20.（）证明：连 ， ，则 和 皆为正三角形1ACB1AC 1B取 中点 ，连 ， ，则 ， ， 2 分1COO则 平面 ，则 5 分11（）由（）知， ，又 ，所以 3AB16A1AOB如图所示，分别以 ， ， 为正方向建立空间直角坐标系， 7 分1CO则 ， ， ，(0,)C(3,0)(,)设平面 的法向量为 ，1AB1mxyz因为 ，(,) (0,13)AC，所以113030,xyz取 9 分(,)m面 的法向量取 ， 10 分1AB(1,0)n则 ，11 分210cos, 5|A平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值 12 分1CB121解：（1）解： ，又 ，联立解得： ，32
10、cea因 为 21|bMFa21ab，所以椭圆 C 的标准方程为 14xy（2）证明：设直线 AP 的斜率为 k，则直线 AP 的方程为 ，(2)ykx联立 得 3x(5)Sk，0()Py设 ， ， 代 入 椭 圆 的 方 程 有 ：2001(2)4xyx整理得： ，故 ，22001()4x20x- 8 -又 ， ( 分别为直线 PA， PB 的斜率)，02ykx02ykxk，所以 ，0214所以直线 PB 的方程为： ，(2)4yxk联立 得 ，3x1T，所以以 ST 为直径的圆的方程为： ，2225151(3)88kkxy令 ，解得： ，0y532x所以以线段 ST 为直径的圆恒过定点 5302，22. 解 （） 若 则 列表如下 2ln1(),xf(),fx1ex0,ee)()f+ 0 - -()fx单调增 极大值 1()fe单调减 单调减5 分（）在 两边取对数, 得 ,由于 所以12ax1ln2lax01,(1)lnlx由(1)的结果可知,当 时, , (01)1()fxe为使(1)式对所有 成立,当且仅当 ,即 12 分ln2aln2
