1、1课时跟踪检测（十一） 数学归纳法层级一 学业水平达标1设 Sk ，则 Sk1 为( )1k 1 1k 2 1k 3 12kA Sk B Sk 12k 2 12k 1 12k 2C Sk D Sk 12k 1 12k 2 12k 2 12k 1解析：选 C 因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk ，1k 1 1k 2 12k得 Sk1 .1k 2 1k 3 12k 12k 1 12 k 1由，得 Sk1 Sk 12k 1 12 k 1 1k 1 .故 Sk1 Sk .12k 1 12 k 1 12k 1 12 k 12利用数学归纳法证明不等式 1 n(n2， nN *)的过程中，由12
2、13 12n 1n k 变到 n k1 时，左边增加了( )A1 项 B k 项C2 k1 项 D2 k项解析：选 D 当 n k 时，不等式左边的最后一项为 ，而当 n k1 时，最后一12k 1项为 ，并且不等式左边和式的分母的变化规律是每一项比前一项加12k 1 1 12k 1 2k1，故增加了 2k项3一个与正整数 n 有关的命题，当 n2 时命题成立，且由 n k 时命题成立可以推得 n k2 时命题也成立，则( )A该命题对于 n2 的自然数 n 都成立B该命题对于所有的正偶数都成立C该命题何时成立与 k 取值无关D以上答案都不对解析：选 B 由 n k 时命题成立可推出 n k2
3、 时命题也成立，又 n2 时命题成立，根据逆推关系，该命题对于所有的正偶数都成立，故选 B.4对于不等式 n1( nN *)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：n2 n(1)当 n1 时， 11，不等式成立12 12(2)假设当 n k(kN *)时，不等式成立，即 k1，则当 n k1 时，k2 k ( k1) k 1 2 k 1 k2 3k 2 k2 3k 2 k 2 k 2 21， n k1 时，不等式成立，则上述证法( )A过程全部正确B n1 验得不正确C归纳假设不正确D从 n k 到 n k1 的推理不正确解析：选 D 在 n k1 时，没有应用 n k 时的归纳假设，故选 D.5
4、设 f(n)5 n23 n1 1( nN *)，若 f(n)能被 m(mN *)整除，则 m 的最大值为( )A2 B4C8 D16解析：选 C f(1)8， f(2)32， f(3)144818，猜想 m 的最大值为 8.6用数学归纳法证明“对于足够大的自然数 n，总有 2n n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个值 n0最小应当是_解析：2 101 02410 3,295129 3， n0最小应为 10.答案：107用数学归纳法证明 ，假设 n k 时，不等式成立，122 132 1 n 1 2 12 1n 2则当 n k1 时，应推证的目标不等式是_解析：观察不等式中分母的变化便知答
5、案： 122 132 1 k 1 2 1 k 2 2 12 1k 38对任意 nN *,34n2 a2n1 都能被 14 整除，则最小的自然数 a_.解析：当 n1 时，3 6 a3能被 14 整除的数为 a3 或 5；当 a3 且 n2 时，3 103 5不能被 14 整除，故 a5.答案：59已知数列 an满足 a11， an1 2 an1( nN *)(1)求 a2， a3， a4， a5；(2)归纳猜想出通项公式 an，并且用数学归纳法证明解：(1) a23， a37， a415， a531.(2)归纳猜想出通项公式 an2 n1，当 n1 时， a112 11，成立假设 n k 时成
6、立，即 ak2 k1，则当 n k1 时，由 an1 2 an1( nN *)，3得： ak1 2 ak12(2 k1)12 k1 212 k1 1，所以 n k1 时也成立；综合，对 nN *等式都成立，从而得证10用数学归纳法证明 1 1 n(nN *)n2 12 13 12n 12证明：(1)当 n1 时， 1 ，命题成立32 12 32(2)假设当 n k(kN *)时命题成立，即 1 1 k，k2 12 13 12k 12则当 n k1 时，1 1 2 k 1 .12 13 12k 12k 1 12k 2 12k 2k k2 12k 1 k 12又 1 k2 k ( k1)，12 1
7、3 12k 12k 1 12k 2 12k 2k 12 12k 12即 n k1 时，命题成立由(1)和(2)可知，命题对所有 nN *都成立层级二 应试能力达标1.凸 n 边形有 f(n)条对角线，则凸 n1 边形对角线的条数 f(n1)为( )A f(n) n1 B f(n) nC f(n) n1 D f(n) n2解析：选 C 增加一个顶点，就增加 n13 条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故 f(n1) f(n)1 n13 f(n) n1.故应选 C.2设 f(n)1 (nN *)，那么 f(n1) f(n)等于( )12 13 13n 1A. B. 13n 2 13n 13n
8、1C. D. 13n 1 13n 2 13n 13n 1 13n 2解析：选 D f(n1) f(n) .13n 13n 1 13n 23设平面内有 k 条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设 k 条直线的交点个数为 f(k)，则 f(k1)与 f(k)的关系是( )A f(k1) f(k) k1B f(k1) f(k) k1C f(k1) f(k) kD f(k1) f(k) k2解析：选 C 当 n k1 时，任取其中 1 条直线记为 l，则除 l 外的其他 k 条直线的交4点的个数为 f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线 l 必与平面内其他 k 条直线都相交(有 k 个
9、交点)；又因为任何三条直线不过同一点，所以上面的 k 个交点两两不相同，且与平面内其他的 f(k)个交点也两两不相同，从而 n k1 时交点的个数是 f(k) k f(k1)4若命题 A(n)(nN *)n k(kN *)时命题成立，则有 n k1 时命题成立现知命题对 n n0(n0N *)时命题成立，则有( )A命题对所有正整数都成立B命题对小于 n0的正整数不成立，对大于或等于 n0的正整数都成立C命题对小于 n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于 n0的正整数都成立D以上说法都不正确解析：选 C 由题意知 n n0时命题成立能推出 n n01 时命题成立，由 n n01 时命题成立
10、，又推出 n n02 时命题也成立，所以对大于或等于 n0的正整数命题都成立，而对小于 n0的正整数命题是否成立不确定5用数学归纳法证明 1 a a2 an1 (nN *， a1)，在验证 n1 成1 an 21 a立时，左边所得的项为_解析：当 n1 时， n12，所以左边1 a a2.答案：1 a a26用数学归纳法证明 122 22 n1 2 n1( nN *)的过程如下：当 n1 时，左边2 01，右边2 111，等式成立假设 n k(k1，且 kN *)时，等式成立，即122 22 k1 2 k1.则当 n k1 时，122 22 k1 2 k 2 k1 1，1 2k 11 2所以当
11、 n k1 时，等式也成立由知，对任意 nN *，等式成立上述证明中的错误是_解析：由证明过程知，在证从 n k 到 n k1 时，直接用的等比数列前 n 项和公式，没有用上归纳假设，因此证明是错误的答案：没有用归纳假设7平面内有 n(nN *)个圆，其中每两个圆都相交于两点，且每三个圆都不相交于同一点，求证：这 n 个圆把平面分成 n2 n2 部分证明：(1)当 n1 时， n2 n22，即一个圆把平面分成两部分，故结论成立(2)假设当 n k(k1， kN *)时命题成立，即 k 个圆把平面分成 k2 k2 部分则当 n k1 时，这 k1 个圆中的 k 个圆把平面分成 k2 k2 个部分
12、，第 k1 个圆5被前 k 个圆分成 2k 条弧，这 2k 条弧中的每一条把它所在的平面部分都分成两部分，这样共增加 2k 个部分，故 k1 个圆把平面分成 k2 k22 k( k1) 2( k1)2 部分，即 n k1 时命题也成立综上所述，对一切 nN *，命题都成立8已知某数列的第一项为 1，并且对所有的自然数 n2，数列的前 n 项之积为 n2.(1)写出这个数列的前 5 项；(2)写出这个数列的通项公式并加以证明解：(1)已知 a11，由题意，得 a1a22 2， a22 2. a1a2a33 2， a3 .3222同理，可得 a4 ， a5 .4232 5242因此这个数列的前 5
13、 项分别为 1,4， ， .94169 2516(2)观察这个数列的前 5 项，猜测数列的通项公式应为：anError!下面用数学归纳法证明当 n2 时， an .n2 n 1 2当 n2 时， a2 2 2，结论成立22 2 1 2假设当 n k(k2， kN *)时，结论成立，即 ak .k2 k 1 2 a1a2ak1 ( k1) 2，a1a2ak1 akak1 ( k1) 2， ak1 k 1 2 a1a2ak 1 ak k 1 2 k 1 2 k 1 2k2 k 1 2k2. k 1 2 k 1 12这就是说当 n k1 时，结论也成立根据可知，当 n2 时，这个数列的通项公式是an .n2 n 1 2这个数列的通项公式为 anError!
