1、1课时跟踪检测（六） 函数的极值与导数层级一 学业水平达标1当函数 y x2x取极小值时， x( )A. B1ln 2 1ln 2Cln 2 Dln 2解析：选 B 由 y2 x x2xln 20，得 x .1ln 22设函数 f(x) ln x，则( )2xA x 为 f(x)的极大值点12B x 为 f(x)的极小值点12C x2 为 f(x)的极大值点D x2 为 f(x)的极小值点解析：选 D 由 f( x) 0 可得 x2.当 0 x2 时， f( x)2x2 1x 1x(1 2x)0， f(x)单调递减；当 x2 时， f( x)0， f(x)单调递增故 x2 为 f(x)的极小值
2、点3已知函数 f(x)2 x3 ax236 x24 在 x2 处有极值，则该函数的一个递增区间是( )A(2,3) B(3，)C(2，) D(，3)解析：选 B 因为函数 f(x)2 x3 ax236 x24 在 x2 处有极值，又 f( x)6 x22 ax36，所以 f(2)0 解得 a15.令 f( x)0，解得 x3 或 x2，所以函数的一个递增区间是(3，)4设函数 f(x)在 R上可导，其导函数为 f( x)，且函数 f(x)在 x2 处取得极小值，则函数 y xf( x)的图象可能是( )解析：选 C 由题意可得 f(2)0，而且当 x(，2)时， f( x)0，此时xf( x)
3、0；排除 B、D，当 x(2，)时， f( x)0，此时若 x(2,0)， xf( x)0，若 x(0，)， xf( x)0，所以函数 y xf( x)的图象可能是 C.5已知函数 f(x) x3 px2 qx的图象与 x轴切于(1,0)点，则 f(x)的极大值、极小2值分别为( )A. ，0 B0，427 427C ，0 D0，427 427解析：选 A f( x)3 x22 px q，由 f(1)0， f(1)0 得，Error!解得 Error! f(x) x32 x2 x.由 f( x)3 x24 x10 得 x 或 x1，易得当 x 时 f(x)取极大值 .当 x113 13 427
4、时 f(x)取极小值 0.6函数 y 的极大值为_，极小值为_2xx2 1解析： y ，令 y0 得1 x1，令 y0 得 x1 或2 1 x 1 x x2 1 2x1，当 x1 时，取极小值1，当 x1 时，取极大值 1.答案：1 17已知函数 f(x) x33 x的图象与直线 y a有相异三个公共点，则 a的取值范围是_解析：令 f( x)3 x230，得 x1，可得极大值为 f(1)2，极小值为 f(1)2， y f(x)的大致图象如图，观察图象得2 a2 时恰有三个不同的公共点答案：(2,2)8.已知函数 f(x) ax3 bx2 cx，其导函数 y f( x)的图象经过点(1,0)，
5、(2,0)如图，则下列说法中不正确的是_(填序号)当 x 时，函数 f(x)取得最小值；32 f(x)有两个极值点；当 x2 时函数值取得极小值；当 x1 时函数取得极大值解析：由图象可知， x1,2 是函数的两极值点，正确；又 x(，1)(2，)时， y0； x(1,2)时， y0， x1 是极大值点， x2 是极小值点，故正确答案：9设 a为实数，函数 f(x)e x2 x2 a， xR，求 f(x)的单调区间与极值3解：由 f(x)e x2 x2 a， xR 知 f( x)e x2， xR.令 f( x)0，得 xln 2.于是当 x变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x
6、(，ln 2) ln 2 (ln 2，)f( x) 0 f(x) 单调递减 2(1ln 2 a) 单调递增故 f(x)的单调递减区间是(，ln 2)，单调递增区间是(ln 2，)；且 f(x)在 xln 2 处取得极小值极小值为 f(ln 2)2(1ln 2 a)，无极大值10已知 f(x) ax3 bx2 cx(a0)在 x1 时取得极值，且 f(1)1.(1)试求常数 a， b， c的值；(2)试判断 x1 时函数取得极小值还是极大值，并说明理由解：(1)由已知， f( x)3 ax22 bx c，且 f(1) f(1)0，得 3a2 b c0,3 a2 b c0.又 f(1)1， a b
7、 c1. a ， b0， c .12 32(2)由(1)知 f(x) x3 x，12 32 f( x) x2 (x1)( x1)32 32 32当 x1时， f( x)0；当10， a6.3对于函数 f(x) x33 x2，给出命题： f(x)是增函数，无极值； f(x)是减函数，无极值； f(x)的递增区间为(，0)，(2，)，递减区间为(0,2)； f(0)0 是极大值， f(2)4 是极小值其中正确的命题有( )A1 个 B2 个C3 个 D4 个解析：选 B f( x)3 x26 x3 x(x2)，令 f( x)0，得 x2 或 x0，令 f( x)0，得 0 x2，所以 f(x)的极
8、大值为 f(0)0，极小值为 f(2)4，故错误，正确4已知函数 f(x)e x(sin xcos x)， x(0,2 017)，则函数 f(x)的极大值之和为( )A. B.e2 1 e2 018 e2 1 e 1 e2 016 1 e2C. D.e 1 e1 008 1 e2 e 1 e1 008 1 e解析：选 B f( x)2e xsin x，令 f( x)0 得 sin x0， x k， kZ，当2k0， f(x)单调递增，当(2 k1) x2k 时， f( x)0， f(x)单调递减，当 x(2 k1) 时， f(x)取到极大值， x(0,2 017)，0(2 k1)2 017，0
9、 k1 008， kZ. f(x)的极大值之和为 S f() f(3) f(5) f(2 015)e e 3 e 5 e 2 015 e 1 e2 1 0081 e2，故选 B.e 1 e2 016 1 e25若函数 y x36 x2 m的极大值为 13，则实数 m等于_解析： y3 x212 x3 x(x4)由 y0，得 x0 或 4.且 x(，0)(4，)时， y0； x(0,4)时， y0， x4 时取到极大值故6496 m13，解得 m19.答案：196若函数 f(x) x3 x2 ax4 在区间(1,1)上恰有一个极值点，则实数 a的取值5范围为_解析：由题意， f( x)3 x22
10、 x a，则 f(1) f(1)0，即(1 a)(5 a)0，解得 1a5，另外，当 a1 时，函数 f(x) x3 x2 x4 在区间(1，1)上恰有一个极值点，当 a5 时，函数 f(x) x3 x25 x4 在区间(1,1)没有极值点故实数 a的范围为1,5)答案：1,5)7设函数 f(x) x3 bx2 cx d(a0)，且方程 f( x)9 x0 的两个根分别为a31,4.(1)当 a3 且曲线 y f(x)过原点时，求 f(x)的解析式；(2)若 f(x)在(，)内无极值点，求 a的取值范围解：由 f(x) x3 bx2 cx d得 f( x) ax22 bx c，a3 f( x)
11、9 x ax22 bx c9 x0 的两根为 1,4.则Error! (*)(1)当 a3 时，由(*)式得Error!解得 b3， c12.又曲线 y f(x)过原点， d0.故 f(x) x33 x212 x.(2)由于 a0，所以“ f(x) x3 bx2 cx d在(，)内无极值点”等价于a3“f( x) ax22 bx c0 在(，)内恒成立” 由(*)式得 2b95 a， c4 a.又 (2 b)24 ac9( a1)( a9)，Error! 解得 1 a9.即 a的取值范围是1,98已知 f(x)2ln( x a) x2 x在 x0 处取得极值(1)求实数 a的值(2)若关于 x
12、的方程 f(x) b0 的区间1,1上恰有两个不同的实数根，求实数 b的取值范围解：(1) f( x) 2 x1，当 x0 时， f(x)取得极值，2x a所以 f(0)0，解得 a2，检验知 a2 符合题意(2)令 g(x) f(x) b2ln( x2) x2 x b，6则 g( x) 2 x1 (x2)2x 2 2x(x 52)x 2g(x)， g( x)在(2，)上的变化状态如下表：x (2,0) 0 (0，)g( x) 0 g(x) 2ln 2 b 由上表可知函数在 x0 处取得极大值，极大值为 2ln 2 b.要使 f(x) b0 在区间1,1上恰有两个不同的实数根，只需Error!即Error!所以2ln 2 b22ln 3.故实数 b的取值范围是(2ln 2,22ln 3
