1、12.4 等 比 数 列第一课时 等比数列的概念及通项公式(1)等比数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等比数列？(2)等比数列的通项公式是什么？(3)等比中项的定义是什么？新 知 初 探 1等比数列的定义如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示( q0)点睛 (1)“从第 2 项起” ，也就是说等比数列中至少含有三项；(2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比” ；(3)“同一常数 q”， q 是等比数列的公比，即 q (n2)或 q .特别注意，anan 1 an 1anq
2、 不可以为零，当 q1 时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列2等比中项如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a， G， b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项，这三个数满足关系式 G .ab点睛 (1) G 是 a 与 b 的等比中项，则 a 与 b 的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项G ，即等比中项有两个，且互为相反数ab(2)当 G2 ab 时， G 不一定是 a 与 b 的等比中项例如 0250，但 0,0,5 不是等比数列3等比数列的通项公式等比数列 an的首项为 a1，公比为 q(q0)，则通项公式为： an a1qn1 .小 试 身 手
3、 1判断下列命题是否正确(正确的打“” ，错误的打“”)预习课本 P4850，思考并完成以下问题 2(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列( )(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零( )(3)常数列一定为等比数列( )(4)任何两个数都有等比中项( )解析：(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零(3)错误，当常数列不为零时，该数列才是等比数列(4)错误当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项答案：(1) (2) (3) (4)2下列数列为等比数列的是(
4、 )A2,2 2,322， B. ， ， ，1a1a21a3C s1，( s1) 2，( s1) 3， D0,0,0，解析：选 B A、C、D 不是等比数列，A 中不满足定义，C、D 中项可为 0，不符合定义3等比数列的首项为 ，末项为 ，公比为 ，则这个数列的项数为( )98 13 23A3 B4C5 D6解析：选 B n1 ，13 98 (23) n1 ，即 3 n 1，827 (23) (23) (23) n13， n4.4已知等比数列 an为递增数列， a12，且 3(an an2 )10 an1 ，则公比q_.解析：设公比为 q，则 3(an anq2)10 anq，即 3q210
5、q30，解得 q3 或 q ，13又因为 a12 且数列 an为等比递增数列，所以 q .13答案：133等比数列的通项公式典例 (1)在等比数列 an中， a1 ， q ， an ，则项数 n 为( )12 12 132A3 B4C5 D6(2)已知等比数列 an为递增数列，且 a a10,2(an an2 )5 an1 ，则数列 an的通项25公式 an_.解析 (1)因为 an a1qn1 ，所以 n1 ，即 n 5，解得 n5.12 (12) 132 (12) (12)(2)由 2(an an2 )5 an1 2q25 q20 q2 或 ，由 a a10 a1q90a10，又12 25
6、数列 an递增，所以 q2.a a10(a1q4)2 a1q9a1 q2，所以数列 an的通项公式为 an2 n.25答案 (1)C (2)2 n等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于 a1， q 的方程组，求出 a1， q 后再求 an，这是常规方法(2)充分利用各项之间的关系，直接求出 q 后，再求 a1，最后求 an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算活学活用在等比数列 an中，(1)a42， a78，求 an；(2)a2 a518， a3 a69， an1，求 n.解：(1)因为Error!所以Error!由 得 q34，从而 q ，而 a1q32， 34于是 a1 ，所
7、以 an a1qn1 25.2q3 12(2)法一：因为Error!由 得 q ，从而 a132. 12又 an1，所以 32 n1 1，(12)4即 26 n2 0，所以 n6.法二：因为 a3 a6 q(a2 a5)，所以 q .12由 a1q a1q418，得 a132.由 an a1qn1 1，得 n6.等比中项典例 (1)在等比数列 an中， a1 ， q2，则 a4与 a8的等比中项是( )18A4 B4C D.14 14(2)已知 b 是 a， c 的等比中项，求证： ab bc 是 a2 b2与 b2 c2的等比中项解析 (1)由 an 2n1 2 n4 知， a41， a82
8、 4，所以 a4与 a8的等比中项为4.18答案：A(2)证明：因为 b 是 a， c 的等比中项，所以 b2 ac，且 a， b， c 均不为零，又( a2 b2)(b2 c2) a2b2 a2c2 b4 b2c2 a2b22 a2c2 b2c2，( ab bc)2 a2b22 ab2c b2c2 a2b22 a2c2 b2c2，所以( ab bc)2( a2 b2)(b2 c2)，即 ab bc 是 a2 b2与 b2 c2的等比中项(1)由等比中项的定义可知 G2 abG ，所以只有 a， b 同号时， a， b 的Ga bG ab等比中项有两个，异号时，没有等比中项(2)在一个等比数列
9、中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项(3)a， G， b 成等比数列等价于 G2 ab(ab0)活学活用1如果1， a， b， c，9 成等比数列，那么( )A b3， ac9 B b3， ac9C b3， ac9 D b3， ac9解析：选 B 因为 b2(1)(9)9，且 b 与首项1 同号，5所以 b3，且 a， c 必同号所以 ac b29.2已知等比数列 an的前三项依次为 a1， a1， a4，则 an_.解析：由已知可得( a1) 2( a1)( a4)，解得 a5，所以 a14， a26，所以 q ，a2a1 64 32所以 an4 n1
10、 .(32)答案：4 n1(32)等比数列的判定与证明典例 在数列 an中，若 an0，且 an1 2 an3( nN *)证明：数列 an3是等比数列证明：法一 定义法 an0， an30.又 an1 2 an3， 2.an 1 3an 3 2an 3 3an 3 2 an 3an 3数列 an3是首项为 a13，公比为 2 的等比数列法二 等比中项法 an0， an30.又 an1 2 an3， an2 4 an9.( an2 3)( an3)(4 an12)( an3)(2 an6) 2( an1 3) 2.即 an3， an1 3， an2 3 成等比数列，数列 an3是等比数列证明数
11、列是等比数列常用的方法6(1)定义法： q(q 为常数且 q0)或 q(q 为常数且 q0， n2) an为an 1an anan 1等比数列(2)等比中项法： a anan2 (an0， nN *)an为等比数列2n 1活学活用(1)已知各项均不为 0 的数列 an中， a1， a2， a3成等差数列， a2， a3， a4成等比数列，a3， a4， a5的倒数成等差数列，证明： a1， a3， a5成等比数列(2)已知数列 an是首项为 2，公差为1 的等差数列，令 bn an，求证数列 bn是(12)等比数列，并求其通项公式证明：(1)由已知，有 2a2 a1 a3，a a2a4，23
12、.2a4 1a3 1a5由得 ，所以 a4 .2a4 a3 a5a3a5 2a3a5a3 a5由得 a2 .a1 a32将代入，得 a .23a1 a32 2a3a5a3 a5 a3 ，即 a3(a3 a5) a5(a1 a3) a1 a3 a5a3 a5化简，得 a a1a5.又 a1， a3， a5均不为 0，所以 a1， a3， a5成等比数列23(2)依题意 an2( n1)(1)3 n，于是 bn 3 n.(12)而 1 2.bnbn 1(12)3 n(12)4 n (12)数列 bn是公比为 2 的等比数列，通项公式为 bn2 n3 .层级一 学业水平达标12 和 2 的等比中项是
13、( )3 3A1 B17C1 D2解析：选 C 设 2 和 2 的等比中项为 G，3 3则 G2(2 )(2 )1，3 3 G1.2在首项 a11，公比 q2 的等比数列 an中，当 an64 时，项数 n 等于( )A4 B5C6 D7解析：选 D 因为 an a1qn1 ，所以 12n1 64，即 2n1 2 6，得 n16，解得n7.3设等差数列 an的公差 d 不为 0， a19 d，若 ak是 a1与 a2k的等比中项，则 k 等于( )A2 B4C6 D8解析：选 B an( n8) d，又 a a1a2k，2k( k8) d29 d(2k8) d，解得 k2(舍去)或 k4.4等
14、比数列 an的公比为 q，且| q|1， a11，若 am a1a2a3a4a5，则 m等于( )A9 B10C11 D12解析：选 C a1a2a3a4a5 a1a1qa1q2a1q3a1q4 a q10 q10， am a1qm1 qm1 ，51 q10 qm1 ，10 m1， m11.5等比数列 an中，| a1|1， a58 a2， a5 a2，则 an等于( )A(2) n1 B(2 n1 )C(2) n D(2) n解析：选 A 设公比为 q，则 a1q48 a1q，又 a10， q0，所以 q38， q2，又 a5 a2，所以 a20， a50，从而 a10，即 a11，故 an
15、(2) n1 .6等比数列 an中， a12， a38，则 an_.解析： q2， q2 4，即 q2.a3a1 8 2当 q2 时， an a1qn1 2(2) n1 (2) n；8当 q2 时， an a1qn1 22 n1 2 n.答案：(2) n或2 n7已知等比数列 an的各项均为正数，且 a1， a3,2a2成等差数列，则12_.a8 a9a6 a7解析：由题设 a1， a3,2a2成等差数列可得 a12 a2 a3，即 q22 q10，所以12q 1， q232 .2a8 a9a6 a7 a8 1 qa6 1 q 2答案：32 28已知三个数成等比数列，其积为 512，如果第一个
16、数与第三个数各减去 2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于_解析：依题意设原来的三个数依次为 ， a， aq.aq aaq512， a8.aq又第一个数与第三个数各减去 2 后的三个数成等差数列， ( aq2)2 a，(aq 2)2 q25 q20， q2 或 q ，12原来的三个数为 4,8,16 或 16,8,4.4816168428，原来的三个数的和等于 28.答案：289在四个正数中，前三个成等差数列，和为 48，后三个成等比数列，积为 8 000，求这四个数解：设前三个数分别为 a d， a， a d，则有(a d) a( a d)48，即 a16.设后三个数分别为 ，
17、 b， bq，则有bqbbq b38 000，即 b20，bq这四个数分别为 m,16,20， n， m2162012， n 25.20216即所求的四个数分别为 12,16,20,25.910已知递增的等比数列 an满足 a2 a3 a428，且 a32 是 a2和 a4的等差中项，求 an.解：设等比数列 an的公比为 q.依题意，知 2(a32) a2 a4， a2 a3 a43 a3428， a38， a2 a420， 8 q20，解得 q2 或 q (舍去)8q 12又 a1 2， an2 n.a3q2层级二 应试能力达标1设 a1， a2， a3， a4成等比数列，其公比为 2，则
18、 的值为( )2a1 a22a3 a4A. B.14 12C. D118解析：选 A 原式 .2a1 a2q2 2a1 a2 1q2 142在等比数列 an中，已知 a1 ， a53，则 a3( )13A1 B3C1 D3解析：选 A 由 a5 a1q43，所以 q49，得 q23， a3 a1q2 31.133设 a12，数列12 an是公比为 3 的等比数列，则 a6等于( )A607.5 B608C607 D159解析：选 C 12 an(12 a1)3n1 ，12 a653 5， a6 607.5243 124如图给出了一个“三角形数阵” 已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成
19、等比数列，而且每一行的公比都相等， 14，12 1410，3438 316记第 i 行第 j 列的数为 aij(i， jN *)，则 a53的值为( )A. B.116 18C. D.516 54解析：选 C 第一列构成首项为 ，公差为 的等差数列，所以 a51 (51) .14 14 14 14 54又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第 5 行构成首项为 ，公比为 的等比数列，所以 a53 2 .54 12 54 (12) 5165若数列 an的前 n 项和为 Sn，且 an2 Sn3，则 an的通项公式是_解析：由 an2 Sn3 得 an1 2 Sn1 3(
20、 n2)，两式相减得 an an1 2 an(n2)， an an1 (n2)， 1( n2)anan 1故 an是公比为1 的等比数列，令 n1 得 a12 a13， a13，故 an3(1) n1 .答案： an3(1) n16在等差数列 an中， a12， a36，若将 a1， a4， a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为_解析：设等差数列 an的公差为 d，所求的数为 m，则Error! d2， a48， a510， a1 m， a4 m， a5 m 成等比数列，( a4 m)2( a1 m)(a5 m)，即(8 m)2(2 m)(10 m)，解得 m11.答案：117已知数列 an的前 n 项和 Sn2 an，求证：数列 an是等比数列证明： Sn2 an， Sn1 2 an1 . an1 Sn1 Sn(2 an1 )(2 an) an an1 . an1 an.12又 S12 a1， a110.又由 an1 an知 an0，12 .an 1an 12
