1、1课时达标检测(四十七）圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题一、全员必做题1已知椭圆 1( a b0)的左、右焦点分别是 F1， F2，上、下顶点分别是x2a2 y2b2B1， B2， C 是 B1F2的中点，若 2，且 .B1F1 B1F2 CF1 B1F2 (1)求椭圆的方程；(2)点 Q 是椭圆上任意一点， A1， A2分别是椭圆的左、右顶点，直线 QA1， QA2与直线x 分别交于 E， F 两点，试证：以 EF 为直径的圆与 x 轴交于定点，并求该定点的坐433标解：(1)设 F1( c,0)， F2(c,0)， B1(0， b)，则 C .(c2， b2)由题意得即Error!即Er
2、ror!解得Error!从而 a24，故所求椭圆的方程为 1.x24 y23(2)证明：由(1)得 A1(2,0)， A2(2,0)，设 Q(x0， y0)，易知 x02，则直线 QA1的方程为 y (x2)，与直线 x 的交点 E 的坐标为 ，y0x0 2 433 433 y0x0 2，(433 2)2直线 QA2的方程为 y (x2)，与直线 x 的交点 F 的坐标为y0x0 2 433，(433， y0x0 2(433 2)设以 EF 为直径的圆与 x 轴交于点 H(m,0)， m ，433则 HE HF，从而 kHEkHF1，即 1，y0x0 2(433 2)433 my0x0 2(4
3、33 2)433 m即 2，43y20x20 4 (433 m)由 1 得 y .x204 y203 20 34 x204所以由得 m 1，433故以 EF 为直径的圆与 x 轴交于定点，且该定点的坐标为 或 .(433 1， 0) (433 1， 0)2(2018江苏省淮安市高三期中)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，过椭圆C： y21 的左顶点 A 作直线 l，与椭圆 C 和 y 轴正半轴分别交于点 P， Q.x24(1)若 AP PQ，求直线 l 的斜率；(2)过原点 O 作直线 l 的平行线，与椭圆 C 交于点 M， N，求证： 为定值APAQMN2解：(1)依题意，椭圆 C 的左顶
4、点 A(2,0)，设直线 l 的斜率为 k(k0)，点 P 的横坐标为 xP，则直线 l 的方程为 y k(x2)又椭圆 C： y21，x24由得，(4 k21) x216 k2x16 k240，则2 xP ，从而 xP .16k2 44k2 1 2 8k21 4k2因为 AP PQ，所以 xP1.3所以 1，解得 k (负值已舍)2 8k21 4k2 32(2)证明：设点 N 的横坐标为 xN.结合(1)知，直线 MN 的方程为 y kx.由得， x .2N41 4k2从而 ，即证APAQMN2 2xP 22xN22(2 8k21 4k2 2)4 41 4k2 123.如图，椭圆长轴的端点为
5、 A， B， O 为椭圆的中心， F 为椭圆的右焦点，且 AF 1，| |1.FB OF (1)求椭圆的标准方程；(2)记椭圆的上顶点为 M，直线 l 交椭圆于 P， Q 两点，问：是否存在直线 l，使点 F 恰为 PQM 的垂心，若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，请说明理由解：(1)设椭圆方程为 1( a b0)，则 c1，x2a2 y2b2又 ( a c)(a c) a2 c21.AF FB a22， b21，故椭圆的方程为 y21.x22(2)假设存在直线 l 交椭圆于 P， Q 两点，且 F 恰为 PQM 的垂心，设 P(x1， y1)，Q(x2， y2)， M(0,1)， F(
6、1,0)，直线 l 的斜率 k1.于是设直线 l 为 y x m，由Error!得 3x24 mx2 m220，x1 x2 m， x1x2 .43 2m2 23 x1(x21) y2(y11)0.MP FQ 又 yi xi m(i1,2)， x1(x21)( x2 m)(x1 m1)0，4即 2x1x2( x1 x2)(m1) m2 m0.即 2 (m1) m2 m0，2m2 23 4m3解得 m 或 m1，当 m1 时， M， P， Q 三点不能构成三角形，不符合条件，43故存在直线 l，使点 F 恰为 PQM 的垂心，直线 l 的方程为 y x .43二、重点选做题1(2018淮阴中学模拟
7、)如图，椭圆 C： 1( a b0)的顶点x2a2 y2b2A1， A2， B1， B2， SA1B2A2B14，直线 y x 与圆 O： x2 y2 b2相切2(1)求椭圆 C 的离心率；(2)若 P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点，直线 A1P 交 y 轴于点 F，直线 A1B1交 B2P 于点E.若设 B2P 的斜率为 k，探究 EF 是否过定点？若有求出其定点，若没有，说明理由解：(1)因为直线 y x 与圆 O 相切，所以 b，即 b1，222又因为 SA1B2A2B14，所以 2a2b4，所以 a2，12所以椭圆 C 的方程： y21，所以离心率 e .x24 ca 32(2)由(
8、1)可知 A1(2,0)， B1(0，1)， B2(0,1)，因为 B2P 的斜率为 k，所以直线 B2P 的方程为 y kx1，由Error!得(14 k2)x28 kx0，其中 xB20，所以 xP ，8k1 4k2所以 P ，(8k1 4k2， 1 4k21 4k2)则直线 A1P 的斜率 kA1P ，1 4k21 4k2 8k1 4k2 2 2k 122k 1直线 A1P 的方程为 y (x2)，2k 122k 15令 x0，则 y ，即 F ，2k 12k 1 (0， 2k 12k 1)因为直线 A1B1的方程为 x2 y20，由Error!解得Error!所以 E ，(42k 1，
9、 2k 12k 1)所以 EF 的斜率 k0 ， 2k 12k 1 2k 12k 142k 1 2k2k 1所以直线 EF 的方程为 y x ，2k2k 1 2k 12k 1所以 2k(x y1)( y1)0，所以可求定点为(2,1)，即直线 EF 是过定点(2,1)2已知椭圆 M： 1( a b0)的一个顶点坐标为(0,1)，离心率为 ，动直线x2a2 y2b2 22y x m 交椭圆 M 于不同的两点 A， B， T(1,1)(1)求椭圆 M 的标准方程；(2)试问： TAB 的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由解：(1)由题意得 ， b1，又 a2 b2 c
10、2，ca 22所以 a ， c1，椭圆 M 的标准方程为 y21.2x22(2)由Error!得 3x24 mx2 m220.由题意得， 16 m224( m21)0，即 m230，所以 m .3 3设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则 x1 x2 ， x1x2 ， 4m3 2m2 23|AB| |x1 x2|x1 x22 y1 y22 2 .2 x1 x22 4x1x2433 m2又由题意得， T(1,1)到直线 y x m 的距离 d .|m|2假设 TAB 的面积存在最大值，则 m0， S TAB |AB|d .12 12 433 m2 |m|2 23 3 m2m26由基本不
11、等式得， S TAB ，23 3 m2 m22 22当且仅当 m 时取等号，而 m( ，0)(0， )，所以 TAB 面积的最大值为62 3 3.22故 TAB 的面积存在最大值，且当 m 时， TAB 的面积取得最大值 .62 22三、冲刺满分题1(2018苏锡常镇一模)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 1( a b0)的x2a2 y2b2焦距为 2，离心率为 ，椭圆的右顶点为 A.22(1)求该椭圆的方程；(2)过点 D( ， )作直线 PQ 交椭圆于两个不同点 P， Q，求证：直线 AP， AQ 的斜率2 2之和为定值解：(1)由题意可知：椭圆 1( a b0)，焦点在 x 轴上，
12、2 c2， c1，x2a2 y2b2椭圆的离心率 e ，则 a ， b2 a2 c21，ca 22 2则椭圆的标准方程为 y21.x22(2)证明：设 P(x1， y1)， Q(x2， y2)， A( ，0)，2由题意 PQ 的方程： y k(x ) ，2 2则Error!整理得(2 k21) x2(4 k24 k)x4 k28 k20，2 2由根与系数的关系可知： x1 x2 ， x1x2 ，42k2 42k2k2 1 4k2 8k 22k2 1则 y1 y2 k(x1 x2)2 k2 ，2 2 22 22k2k2 1则 kAP kAQ ，y1x1 2 y2x2 2 y1x2 y2x1 2y
13、1 y2x1x2 2x1 x2 2由 y1x2 y2x1 k(x1 ) x2 k(x2 ) x12 kx1x2( k )(x1 x2)2 2 2 2 2 27 ，4k2k2 1kAP kAQy1x2 y2x1 2y1 y2x1x2 2x1 x2 2 1， 4k2k2 1 2 22 22k2k2 14k2 8k 22k2 1 242k2 42k2k2 1 2直线 AP， AQ 的斜率之和为定值 1.2如图，已知椭圆 1 的左焦点为 F，过点 F 的直线交椭圆于 A， B 两点，线段x24 y23AB 的中点为 G， AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D， E 两点(1)若点 G 的横坐
14、标为 ，求直线 AB 的斜率；14(2)记 GFD 的面积为 S1， OED(O 为原点)的面积为 S2.试问：是否存在直线 AB，使得 S1 S2？说明理由解：(1)由条件可得 c2 a2 b21，故 F 点坐标为(1,0)依题意可知，直线 AB 的斜率存在，设其方程为 y k(x1)，将其代入 1，x24 y23整理得(4 k23) x28 k2x4 k2120.设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，所以 x1 x2 . 8k24k2 3故点 G 的横坐标为 ，x1 x22 4k24k2 3 14解得 k ，故直线 AB 的斜率为 或 .12 12 12(2)假设存在直线 AB，使得 S1 S2，显然直线 AB 不能与 x， y 轴垂直，即直线 AB 斜率存在且不为零由(1)可得 G .( 4k24k2 3， 3k4k2 3)设 D 点坐标为( xD,0)8因为 DG AB，所以 k1，3k4k2 3 4k24k2 3 xD解得 xD ， k24k2 3即 D .( k24k2 3， 0)因为 GFD OED，所以 S1 S2|GD| OD|.所以 ，( k24k2 3 4k24k2 3)2 ( 3k4k2 3)2 | k24k2 3|整理得 8k290.因为此方程无解，所以不存在直线 AB，使得 S1 S2.
