1、1课时达标检测(四十）圆的方程练基础小题强化运算能力1已知三点 A(1,0)， B(0， )， C(2， )，则 ABC 外接圆的圆心到原点的距离为3 3_解析：设圆的一般方程为 x2 y2 Dx Ey F0，则Error!解得Error!所以 ABC 外接圆的圆心为 ，故 ABC 外接圆的圆心到原点的距离为 (1，233) .12 (233)2 213答案：2132一个圆经过椭圆 1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半轴上，则该圆的标准x216 y24方程为_解析：由题意知 a4， b2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，2)，右顶点的坐标为(4,0)由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过点
2、(0,2)，(0，2)，(4,0)三点设圆的标准方程为( x m)2 y2 r2(0 m4， r0)，则Error!解得 Error!所以圆的标准方程为2 y2 .(x32) 254答案： 2 y2(x32) 2543若圆 C 的半径为 1，圆心 C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆 C 的标准方程为_解析：因为圆心 C 与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得 C(0,0)，所以所求圆的标准方程为 x2 y21.答案： x2 y214(2018淮安中学模拟)已知 (22cos ，22sin )， R， O 为坐标OP 原点，向量 满足 0，则动点 Q 的轨迹方程是_O
3、Q OP OQ 解析：设 Q(x， y)， (22cos x,22sin y)(0,0)，OP OQ Error!( x 2)2( y2) 24.答案：( x2) 2( y2) 245设 P 是圆( x3) 2( y1) 24 上的动点， Q 是直线 x3 上的动点，则| PQ|的最小值为_解析：如图所示，圆心 M(3，1)到定直线 x3 上点的最2短距离为| MQ|3(3)6，又圆的半径为 2，故所求最短距离为 624.答案：4练常考题点检验高考能力一、填空题1(2018姜堰中学月考)设 A(3,0)， B(3,0)为两定点，动点 P 到 A 点的距离与到B 点的距离之比为 12，则点 P
4、的轨迹图形所围成的面积是_解析：设 P(x， y)，则由题意有 ，整理得 x2 y210 x90，即( x5)x 32 y2x 32 y2 142 y216，所以点 P 在半径为 4 的圆上，故其面积为 16.答案：162圆( x2) 2 y25 关于原点(0,0)对称的圆的方程为_解析：因为所求圆的圆心与圆( x2) 2 y25 的圆心(2,0)关于原点(0,0)对称，所以所求圆的圆心为(2,0)，半径为 ，故所求圆的方程为( x2) 2 y25.5答案：( x2) 2 y253已知两点 A(0，3)， B(4,0)，若点 P 是圆 C： x2 y22 y0 上的动点，则 ABP面积的最小值
5、为_解析：如图，过圆心 C 向直线 AB 作垂线交圆于点 P，这时 ABP 的面积最小直线 AB的方程为 1，即 3x4 y120，圆心 C 到直线 AB 的距离为 dx4 y 3 ，|30 41 12|32 42 165所以 ABP 的面积的最小值为 5 .12 (165 1) 112答案：1124(2018南通模拟)已知点 M 是直线 3x4 y20 上的动点，点 N 为圆( x1)2( y1) 21 上的动点，则| MN|的最小值是_解析：圆心(1，1)到点 M 的距离的最小值为点(1，1)到直线的距离 d ，故点 N 到点 M 的距离的最小值为 d1 .| 3 4 2|5 95 45答
6、案：4535已知圆 C：( x3) 2( y4) 21 和两点 A( m,0)， B(m，0)( m0)若圆 C 上存在点 P，使得 APB90，则 m 的最大值为_解析：根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心 C 的坐标为(3,4)，半径 r1，且|AB|2 m，因为 APB90，连结 OP，易知| OP| |AB| m.要求 m 的最大值，即求圆 C12上的点 P 到原点 O 的最大距离因为| OC| 5 ，所以| OP|max| OC| r6，即 m 32 42的最大值为 6.答案：66已知圆 C1：( x2) 2( y3) 21，圆 C2：( x3) 2( y4) 29， M， N 分
7、别是圆C1， C2上的动点， P 为 x 轴上的动点，则| PM| PN|的最小值为_解析：圆 C1， C2的图象如图所示设 P 是 x 轴上任意一点，则|PM|的最小值为| PC1|1，同理| PN|的最小值为| PC2|3，则|PM| PN|的最小值为| PC1| PC2|4.作 C1关于 x 轴的对称点C1(2，3)，连结 C1 C2，与 x 轴交于点 P，连结 PC1，可知|PC1| PC2|的最小值为| C1 C2| 5 ，则3 22 4 32 2|PM| PN|的最小值为 5 4.2答案：5 427(2018徐州期初)若直线 l： ax by10( a0， b0)始终平分圆M： x
8、2 y24 x2 y10 的周长，则 a2 b22 a2 b3 的最小值为_解析：因为直线 ax by10 始终平分圆 x2 y24 x2 y10 的周长，所以圆心(2，1)在直线 ax by10 上，从而 2a b10. a2 b22 a2 b3( a1)2( b1) 21，而( a1) 2( b1) 2表示点(1,1)与直线 2a b10 上任一点的距离 d 的平方，其最小值 d 2 ，所以 a2 b22 a2 b3 的最小值为2min (|21 11 1|22 12 ) 451 .45 95答案：958已知直线 l： x my40，若曲线 x2 y22 x6 y10 上存在两点 P， Q
9、 关于直线 l 对称，则 m 的值为_4解析：因为曲线 x2 y22 x6 y10 是圆( x1) 2( y3) 29，若圆( x1)2( y3) 29 上存在两点 P， Q 关于直线 l 对称，则直线 l： x my40 过圆心(1,3)，所以13 m40，解得 m1.答案：19已知圆 x2 y24 ax2 by b20( a0， b0)关于直线 x y10 对称，则 ab的最大值是_解析：由圆 x2 y24 ax2 by b20( a0， b0)关于直线 x y10 对称，可得圆心(2 a， b)在直线 x y10 上，故有 2a b10，即 2a b12 ，解得2abab ，故 ab 的
10、最大值为 .18 18答案：1810已知圆 C 关于 y 轴对称，经过点(1,0)且被 x 轴分成两段，弧长比为 12，则圆C 的方程为 _.解析：由已知圆心在 y 轴上，且被 x 轴所分劣弧所对圆心角为 ，设圆心(0， a), 半23径为 r，则 rsin 1， rcos | a|，解得 r ，即 r2 ，| a| ， 3 3 23 43 33即 a ，故圆 C 的方程为 x2 2 .33 (y33) 43答案： x2 2(y33) 43二、解答题11已知圆 C 过点 P(1,1)，且与圆 M：( x2) 2( y2) 2 r2(r0)关于直线x y20 对称(1)求圆 C 的方程；(2)设
11、 Q 为圆 C 上的一个动点，求 的最小值PQ MQ 解：(1)设圆心 C(a， b)，由已知得 M(2，2)，则Error!解得Error!则圆 C 的方程为 x2 y2 r2，将点 P 的坐标代入得 r22，故圆 C 的方程为 x2 y22.(2)设 Q(x， y)，则 x2 y22， ( x1， y1)( x2， y2)PQ MQ x2 y2 x y4 x y2.令 x cos ， y sin ，2 25所以 x y2PQ MQ (sin cos )222sin 2，( 4)又 min1，sin( 4)所以 的最小值为4.PQ MQ 12.如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由一段圆弧
12、和一个长方形构成已知隧道总宽度 AD 为 6 m，行车道总宽度 BC 为 2 m，侧墙 EA、 FD 高为 2 m，弧顶高 MN 为 5 3 11m.(1)建立直角坐标系，求圆弧所在的圆的方程；(2)为保证安全，要求行驶车辆顶部(设为平顶)与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有 0.5 m请计算车辆通过隧道的限制高度是多少解：(1)以 EF 所在直线为 x 轴，以 MN 所在直线为 y 轴，以 1 m 为单位长度建立直角坐标系(图略)则有 E(3 ，0)， F(3 ，0)， M(0,3)3 3由于所求圆的圆心在 y 轴上，所以设圆的方程为( x0) 2( y b)2 r2， F(3 ，0)， M(0,3)都在圆上，3Error!解得 b3， r236.所以圆的方程是 x2( y3) 236.(2)设限高为 h，作 CP AD，交圆弧于点 P，则| CP| h0.5.将点 P 的横坐标 x 代入圆的方程，得( )2( y3) 236，得 y2 或11 11y8(舍)所以 h| CP|0.5( y| DF|)0.5(22)0.53.5(m)所以车辆的限制高度为 3.5 m.
