1、1课时达标检测(十六） 导数与函数的极值、最值一、全员必做题1.(2018南京金陵中学月考)设函数 f(x)在 R上可导，其导函数为 f( x)，且函数 y(1 x)f( x)的图象如图所示，则 f(x)在(4,2)上的所有极值点之和为_解析：根据函数 y(1 x)f( x)的图象知，当 x1 时， y(1 x)f( x)0,1 x0， f( x)0，函数 f(x)在(，1)上单调递减，当1 x1 时，y(1 x)f( x)0,1 x0， f( x)0，函数 f(x)在(1,1)上单调递增，当 x1 时，y(1 x)f( x)0,1 x0， f( x)0，函数 f(x)在(1，)上单调递增，所
2、以x1 是 f(x)的极小值点，且 f(x)在(4,2)上无极大值点，所以 f(x)在(4,2)上的所有极值点之和为1.答案：12已知函数 f(x) x33 x29 x1，若 f(x)在区间 k,2上的最大值为 28，则实数 k的取值范围为_解析：由题意知 f( x)3 x26 x9，令 f( x)0，解得 x1 或 x3，所以f( x)， f(x)随 x的变化情况如下表：x (，3) 3 (3,1) 1 (1，)f( x) 0 0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增又 f(3)28， f(1)4， f(2)3， f(x)在区间 k,2上的最大值为 28，所以k3.答案：(
3、，33(2018江苏省赣榆高级中学模拟)已知函数 f(x) x22 x aln x在区间(0,1)内无极值点，则 a的取值范围是_解析：由题意得 f( x)2 x2 在区间(0,1)内不变号，即 f( x)2 x2 0ax ax在区间(0,1)内恒成立或 f( x)2 x2 0 在区间(0,1)内恒成立，因此axa2 x(x1) max， x(0,1)，而2 x(x1)0，所以 a0；或 a2 x(x1)min， x(0,1)，而2 x(x1)4，所以 a4.综上 a的取值范围是(，40，)答案：(，40，)4已知函数 f(x) (k0)求函数 f(x)的极值1 ln xkx2解： f(x)
4、，其定义域为(0，)，1 ln xkx则 f( x) .ln xkx2令 f( x)0，得 x1，当 k0 时，若 0 x1，则 f( x)0；若 x1，则 f( x)0，所以 f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，即当 x1 时，函数 f(x)取得极大值 .1k当 k0 时，若 0 x1，则 f( x)0；若 x1，则 f( x)0，所以 f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，即当 x1 时，函数 f(x)取得极小值 .1k5(2018连云港模拟)已知函数 f(x) ax 3ln x，其中 a为常数2x(1)当函数 f(x)的图象在点 处的切线的斜率为 1时，
5、求函数 f(x)在 上的(23， f(23) 32， 3最小值；(2)若函数 f(x)在区间(0，)上既有极大值又有极小值，求 a的取值范围解：(1)因为 f( x) a ，2x2 3x所以 f a1，(23)故 f(x) x 3ln x，则 f( x) .2x x 1 x 2x2由 f( x)0 得 x1 或 x2.当 x变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x 32 (32， 2) 2 (2,3) 3f( x) 0 f(x) 13ln 2 从而在 上 f(x)有最小值，32， 3且最小值为 f(2)13ln 2.(2)f( x) a (x0)，2x2 3x ax2 3x 2x2
6、由题设可得方程 ax23 x20 有两个不等的正实根，3不妨设这两个根为 x1， x2，且 x1 x2，则Error! 解得 0 a .98故所求 a的取值范围为 .(0，98)二、重点选做题1(2018昆明模拟)已知常数 a0， f(x) aln x2 x.(1)当 a4 时，求 f(x)的极值；(2)当 f(x)的最小值不小于 a时，求实数 a的取值范围解：(1)由已知得 f(x)的定义域为 x(0，)， f( x) 2 .ax a 2xx当 a4 时， f( x) .2x 4x所以当 0 x2 时， f( x)0，即 f(x)单调递减；当 x2 时， f( x)0，即 f(x)单调递增所
7、以 f(x)只有极小值，且在 x2 时， f(x)取得极小值 f(2)44ln 2.所以当 a4 时， f(x)只有极小值 44ln 2.(2)因为 f( x) ，a 2xx所以当 a0， x(0，)时， f( x)0，即 f(x)在 x(0，)上单调递增，没有最小值；当 a0 时，由 f( x)0 得， x ，a2所以 f(x)在 上单调递增；(a2， )由 f( x)0 得， x ，a2所以 f(x)在 上单调递减(0， a2)所以当 a0 时， f(x)的最小值为 f aln 2 .(a2) ( a2) ( a2)根据题意得 f aln 2 a，(a2) ( a2) ( a2)即 aln
8、( a)ln 20.因为 a0，所以 ln( a)ln 20，解得 a2，所以实数 a的取值范围是2,0)2已知函数 f(x)Error!(1)求 f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；4(2)求 f(x)在1，e(e 为自然对数的底数)上的最大值解：(1)当 x1 时， f( x)3 x22 x x(3x2)，令 f( x)0，解得 x0 或 x .23当 x变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表：x (，0) 0 (0， 23) 23 (23， 1)f( x) 0 0 f(x) 极小值 极大值 故当 x0 时，函数 f(x)取得极小值为 f(0)0，函数 f(x)的极大值点
9、为 x .23(2)当1 x1 时，由(1)知，函数 f(x)在1,0和 上单调递减，在23， 1)上单调递增0，23因为 f(1)2， f ， f(0)0，(23) 427所以 f(x)在1,1)上的最大值为 2.当 1 xe 时， f(x) aln x，当 a0 时， f(x)0；当 a0 时， f(x)在1，e上单调递增，则 f(x)在1，e上的最大值为 f(e) a.综上所述，当 a2 时， f(x)在1，e上的最大值为 a；当 a2 时， f(x)在1，e上的最大值为 2.三、冲刺满分题1(2018苏州模拟)已知函数 f(x)( x a)ln x， g(x) ，曲线 y f(x)在点
10、x2ex(1， f(1)处的切线与直线 2x y30 平行(1)求证：方程 f(x) g(x)在(1,2)内存在唯一的实根；(2)设函数 m(x)min f(x)， g(x)(minp， q表示 p， q中的较小者)，求 m(x)的最大值解：(1)由题意知，曲线 y f(x)在点(1， f(1)处的切线斜率为 2，所以 f(1)2，又 f( x)ln x 1，所以 a1.ax所以 f(x)( x1)ln x.设 h(x) f(x) g(x)( x1)ln x ，x2ex当 x(0,1时， h(x)0，5又 h(2)3ln 2 ln 8 110，4e2 4e2所以存在 x0(1,2)，使 h(x
11、0)0.因为 h( x)ln x 1 ，1x x 2 xex当 x(1,2)时，0 x(2 x)( x1) 211，exe，所以 0 ，所以 ，1ex 1e x 2 xex 1e所以 h( x)1 0，1e所以当 x(1,2)时， h(x)单调递增，所以方程 f(x) g(x)在(1,2)内存在唯一的实根(2)由(1)知，方程 f(x) g(x)在(1,2)内存在唯一的实根 x0，且 x(0， x0)时， f(x) g(x)，又当 x( x0,2)时， h( x)0，当 x(2，)时， h( x)0，所以当 x( x0，)时， h( x)0，所以当 x( x0，)时， f(x) g(x)，所以
12、 m(x)Error!当 x(0， x0)时，若 x(0,1，则 m(x)0；若 x(1， x0，由 m( x)ln x 10，可知 0 m(x) m(x0)，故当 x(0， x01x时， m(x) m(x0)当 x( x0，)时，由 m( x) 可得当 x( x0,2)时， m( x)0， m(x)单x 2 xex调递增； x(2，)时， m( x)0， m(x)单调递减可知 m(x) m(2) ，且 m(x0) m(2)4e2综上可得，函数 m(x)的最大值为 .4e22(2018无锡期初模拟)已知 f(x) x22 axln x.(1)当 a1 时，判断 f(x)的单调性；(2)若 f(
13、 x)为 f(x)的导函数， f(x)有两个不相等的极值点 x1， x2(x1 x2)，求 2f(x1) f(x2)的最小值解：(1)当 a1 时， f(x) x22 xln x(x0)，f( x)2 x2 0.1x 2x2 2x 1x x 1 2 x2x6所以 f(x)在区间(0，)上单调递增(2)f( x)2 x2 a ，1x 2x2 2ax 1x由题意得， x1和 x2是方程 2x22 ax10 的两个不相等的正根，所以Error! 解得 a ，且 x1x2 ，2122ax12 x 1,2 ax22 x 1.21 2由于 ，所以 x1 ， x2 .a2 22 (0， 22) (22， )
14、2f(x1) f(x2)2( x 2 ax1ln x1)( x 2 ax2ln x2)21 22 x x 4 ax12 ax2ln x22ln x121 22 x x ln 121 2x2x21 x ln 112x2 2 x32 x1x2 2 x ln x 2ln 21.12x2 2 32 2令 t x ， g(t) t ln t2ln 21，2(t12) 12t 32g( t) 1 ，12t2 32t 2t2 3t 12t2 2t 1 t 12t2所以 y g(t)在 上为减函数，在(1，)上为增函数，(12， 1)g(t)min g(1) ，1 4ln 22所以 2f(x1) f(x2)的最小值为 .1 4ln 22
