1、- 1 -下学期高二数学 5 月月考试题 09时间 120 分钟 满分 120 分第 I 卷一、选择题（本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、一个物体的运动方程为 其中 的单位是米， 的单位是秒，那么物体在 秒21tsst 3末的瞬时速度是（ ）A 米/秒 B 米 /秒 C 米/秒 D 米/秒76582、用三段论推理命题：“任何实数的平方大于 0，因为 是实数，所以 ，你认为这个a20a推理（ ）A大前题错误 B小前题错误 C推理形式错误 D是正确的3、已知函数 xxf2cos)(，则 )(f的导函数 )(xfA. in2c
2、osB. 2sincoC. D. 4、函数 在一点的导数值为 是函数 在这点取极值的（ ）)(xfy0)(xfyA充分条件 B必要条件 C充要条件 D必要非充分条件5、观察按下列顺序排列的等式： ， ， ，919219321， ，猜想第 个等式应为（ ）9341()nNA B ()0n()0nC D1911n6、某个命题与正整数有关，若当 时该命题成立，那么可推得)(*k当 时该命题也成立，现已知当 时该命题不成立，那么可推得( )nk5n(A)当 时，该命题不成立 ( B)当 时，该命题成立6 6(C)当 时，该命题成立 (D)当 时，该命题不成立447、用反证法证明命题：“三角形的内角中至
3、少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ） 。A.假设三内角都不大于60度； B.假设三内角都大于60度；C.假设三内角至多有一个大于 60 度； D.假设三内角至多有两个大于 60 度。8、若 ()xfe，则 =（ ）xff)1(2(lim0A B e C 2e D 2e9、已知函数 在 R 上可导，且 ，则 与 的大小( )()f ()()fxf(1)ff- 2 -A B C D不确定(1)ff(1)ff(1)ff10、设函数 y=f(x)的图象如图所示，则导函数 y=f (x)可能为（ ） 11、已知 P， Q 为抛物线 x22 y 上两点，点 P， Q 的横坐标分别为 4，2，过 P
4、， Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点 A，则点 A 的纵坐标为( )A1 B3 C4 D812、点 从点 O出发，按逆时针方向沿周长为 l的图形运动一周， O、 两点连线的距离y与点 走过的路程 x的函数关系如图，那么点 所走的图形是( )13、已知 的导函数为 ，且 ，则下面在 上恒成立的是（ ）14、如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记 t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为 0St，则导函数 ySt的图像大致为（ ）2、 填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）15、若 ，则 的值为_；30(),()fxf0x16、曲线 y在点 1,3处的
5、切线方程为_.- 3 -17、已知函数 mxexf2)(（其中 718.2e）在区间 0,1上单调递减，则实数m的取值范围为_.18、直线 与函数 的图像有相异的三个公共点，则 的取值范围是ayf3)( a_19、用数学归纳法证明不等式 1 (nN *)成立，其初始值至少应取12 14 12n 112764_20、类比余弦定理，在 DEF 中有余弦定理：. 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出DFEEFDcos22斜三棱柱 ABC- 的 3 个侧面面积之间的关系式（其中 为侧面为 与1CBA1AB所成的二面角的平面角）_1三、 解答题（本大题共 5 小题，共 50 分。解答应写出文字说明、证
6、明过程或演算步骤）21、已知函数 ，当 时，有极大值 ；23bxay3（1）求 的值；（ 2）求函数 的极小值。, y22、 （本题 12 分）已知数列 ， ， ， Sn为该数列的前811232 823252 8n(2n 1)2(2n 1)2n 项和， （1）计算 S1,S2,S3,S4,（2）根据计算结果,猜想 Sn的表达式,并用数学归纳法进行证明.23、用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为 2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？24、某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数。（1）sin 213+
7、cos217-sin13cos17（2）sin 215+cos215-sin15cos15（3）sin 218+cos212-sin18cos12（4）sin 2（-18）+cos 248- sin2（-18）cos 248（5）sin 2（-25）+cos 255- sin2（-25）cos 255 试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数 根据（）的计算结果，将该同学的发现推广位三角恒等式，并证明你的结论。- 4 -25、已知函数 21()ln(0).fxax（I）若 是定义域上的单调函数，求 的取值范围；（II）若 在定义域上有两个极值点 、 ，证明：()fx1x212()3ln.fxf
8、- 5 -参考答案一、选择题（本大题共 14 小题，每小题 3 分，共 42 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）2、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）15、 1 16、 2x-y+1=0 .16、 m 2 .18、 -2a 2 .19、 8 . 20、 cos111112 BCABBCACA SSS三、 解答题（本大题共 5 小题，共 54 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）22(本小题 10 分）. S1 ， S2 ， S3 ， S4 .89 2425 4849 8081推测 Sn (nN *)用数学归纳法证明如下： 5 分(2n 1)
9、2 1(2n 1)2(1)当 n1 时， S1 ，等式成立；(2 1)2 1(2 1)2 89(2)假设当 n k 时，等式成立，即 Sk ，那么当 n k1 时，(2k 1)2 1(2k 1)2Sk1 Sk8(k 1)(2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2 1(2k 1)2 8(k 1)(2k 1)2(2k 3)2(2k 1)2 1(2k 3)2 8(k 1)(2k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2 (2k 3)2 8(k 1)(2k 1)2(2k 3)2(2k 1)2(2k 3)2 (2k 1)2(2k 1)2(2k 3)2- 6 - .(2k 3)2 1(2k 3)
10、2 2(k 1) 12 12(k 1) 12也就是说，当 n k1 时，等式成立根据(1)和(2)，可知对一切 nN *，等式均成立.10 分23.(本小题 10 分）解设长方体的宽为 x（m） ，则长为 2x(cm)，高为. 3 分30)c(35.4128xh故长方体的体积为 ).230()mc69)35.4(2)32 xxxxV从而 6 分.1(8182令 V（ x）0，解得 x=0（舍去）或 x=1，因此 x=1.当 0 x1 时， V（ x）0；当 1 x 时， V（ x）0，32故在 x=1 处 V（ x）取得极大值，并且这个极大值就是 V（ x）的最大值。从而最大体积 V V（ x
11、）91 2-613（cm 3） ，此时长方体的长为 2 cm，高为 1.5 cm .10 分答：当长方体的长为 2 cm 时，宽为 1 cm，高为 1.5 cm 时，体积最大，最大体积为 3 cm3。- 7 -24.(本小题 10 分）25.解：(本小题 14 分） （） f(x)ln x ax2 x， f(x) 2 ax1 1x 2ax2 x 1x2 分法一：若 f(x)在(0，)单调递增，则 在(0， )上恒成立，()0fx由于 开口向上，所以上式不恒成立，矛盾。 20a2()1a4 分若 f(x)在(0，)单调递减，则 在(0，) 上恒成立，()f210ax由于 开口向上，对称轴为 ，故
12、只须 18 a 解得21x04xaa 。18综上， a 的取值范围是 ， ) 7 分18法二：令 18 a当 a 时，0， f(x)0， f(x)在(0，)单调递减4 分18当 0 a 时，0，方程 2ax2 x10 有两个不相等的正根 x1， x2，不妨设18x1 x2，则当 x(0， x1)( x2，)时， f(x)0，当 x( x1， x2)时， f(x)0，这时 f(x)不是单调函数综上， a 的取值范围是 ， ) 7 分18（）由（）知，当且仅当 a (0， )时， f(x)有极小值点 x1和极大值点 x2，18且 x1 x2 ， x1x2 12a 12af(x1) f(x2)ln x1 ax x1ln x2 ax x221 2(ln x1ln x2) (x11) (x21)( x1 x2)12 12- 8 -ln( x1x2) (x1 x2)1ln(2 a) 1 10 分12 14a令 g(a)ln(2 a) 1， a (0， ，14a 18则当 a (0， )时， g(a) 0， g(a)在 (0， )单调递减，18 1a 14a2 4a 14a2 18所以 g(a) g( )32ln2，即 f(x1) f(x2)32ln2 14 分18
