1、- 1 -康杰中学 20172018 学年度第二学期期中考试高二数学（理）试题2018.4一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 是虚数单位， （ ）i3iA. B. C. D. 42i142i1326i1326i2. 设 若 ，则 （ ）()ln,fx0()fx0xA. B. C. D. 2eelnln3. 用反证法证明命题：“若 ，且 ，则,1,abcdRbcd1acbd中至少有一个负数”的假设为（ ）,abcdA. 中至少有一个正数 B. 全都为正数, ,C. 全都为非负数 D. 中至多有一个负数abcd4.
2、 已知 为函数 的极小值点，则 （ ）a3()12fxA. 9 B. 2 C. 4 D. 25. 函数 在0，2上的最大值是（ ）xyeA. B. C. 0 D. 12e 12e6. 观察 ，由归纳推理可得：若定义在 R 上的函数243(),(),(cos)inxxx满足 ，记 为 的导函数，则 （ ）)fffgf()gxA. B. C. D. f )()gx7. 某市教育局人事部门打算将甲、乙、丙、丁 4 名大学生安排到该市三所不同的学校任教，每校至少安排一人，其中甲、乙不能安排在同一学校，则不同的安排方法种数为（ ）A. 18 B. 24 C. 30 D. 368. 直线 过抛物线 的焦点
3、且与 轴垂直，则 与 C 所围成的图形的面积等于（ l2:4Cxyyl）A. B. 2 C. D. 43831623- 2 -9. 若函数 在 上的最大值为 ，则 （ ）2()(0)xfa1,)3aA. B. C. D. 31344110. 若数列 是等差数列， ，则数列 也为等差数列，类比这一na12.nnabnb性质可知，若 是正项等比数列，且 也是等比数列，则 的表达式应为（ ）cnddA. B. 12.nnd12.ncC. D. 12.nncc12.nnd11.在正整数数列中，由 1 开始依次按如下规则取它的项：第一次取 1；第二次取 2 个连续偶数 2，4；第三次取 3 个连续奇数
4、5，7，9；第四次取 4 个连续偶数 10，12，14，16；第五次取 5 个连续奇数 17，19，21，23，25，按此规律取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，19，则在这个子数中第 2014 个数是（ ）A. 3965 B. 3966 C. 3968 D. 398912.若函数 在区间（0，2）内有且仅有一个极值点，则 的取21()ln()fxxmx m值范围（ ）A. B. 1(0,4,)1(,)2C. D. ,)2,0,)4,二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13. 复数 ，其中 为虚数单位，则 的实部为 .(1)3z
5、iiz14. 从 8 名女生和 4 名男生中抽取 3 名学生参加某娱乐节目，若按性别进行分层抽样，则不同的抽取方法数为 .15. 设点 P、Q 分别是曲线 和直线 上的动点，则 P、Q 两点间距离的最小值xye3yx为 .16. 有 粒球，任意将它们分成两堆，求出两堆球的乘积，再将其中一堆任*(2,)nN意分成两堆，求出这两堆球的乘积，如此下去，每次任意将其中一堆分成两堆，求出这两堆球的乘积，直到每堆球都不能再分为止，记所有乘积之和为 .例如对 4 粒有如下两种分解：nS(4)(1,3) (1,1,2) (1,1,1,1)，此时 13+12+11=6; (4)(2,2) (1,1,2) 4Sn
6、 n- 3 -(1,1,1,1)，此时 22+11+11=6.于是发现 为定值，请你研究 的规律，归纳4S4SnS .nS三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分 10 分）设 z1是虚数， z2 z1 是实数，且1 z21.1z1（1）求| z1|的值以及 z1的实部的取值范围（2）若 ，求证： 为纯虚数1 z11 z118.（本小题满分 12 分）已知曲线 C： 123xxy，点)0,2(P，求过 P 的切线 l与 C 围成的图形的面积.19.（本小题满分 12 分）已知 .证明：30,2ab（1） ；54（2） .20.（本
7、小题满分 12 分）已知函数 ，22()ln,()fxmxhxa（1）当 时， 在(1，)上恒成立，求实数 m 的取值范围；0af（2）当 m2 时，若函数 k(x)f(x)h(x)在区间1,3上恰有两个不同零点，求实数a 的取值范围21.（本小题满分 12 分）是否存在常数 ，使得等式 222421()()()nnanbc 对一,abc切正整数 n都成立？若存在，求出 abc，的值；若不存在，说明理由22.（本小题满分 12 分）- 4 -已知函数 )(,Rxef（1）求函数 的单调区间和极值；)（2）已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，证明当(ygx()yfx1x时， ；x()f
8、x（3）如果 ，且 ，证明： .1212()fxf12x高二理科数学答案1-12 BBCDA DCCAD AB13、5 14、112 15、 16、232)1(n17.解：(1)设 z1 a bi(a， bR 且 b0)，则 z2 z1 a bi 1z1 1a bi i.(aaa2 b2) (b ba2 b2)因为 z2是实数， b0，于是有 a2 b21，即| z1|1，.4 分还可得 z22 a.由1 z21，得12 a1，解得 a ，即 z1的实部的取值范围12 12是 . .7 分12， 12(2) 1 z11 z1 1 a bi1 a bi 1 a2 b2 2bi 1 a 2 b2
9、i.ba 1因为 a ， b0，所以 为纯虚数 .10 分12， 1218.解：设切点 ),(0yxP，则 2602x切线 l： )(13 00020 xy过 P（,21）- 5 - 216123 00200 xxxx 即 )64(2 ,0yx 即 A（0，1）故 )(:xl切 即 012yx 3213yyB（2,） 327)(230dxS19.证明. 5656(1)()abab3234()ab4().6 分.（2）因为 3223()abab()24- 6 -.12 分20.【解】 (1)由 f(x) h(x)在(1，)上恒成立，得 m 在(1，)上恒成立，xln x令 g(x) ，则 g(
10、x) ，故 g(e)0，xln x ln x 1 ln x 2当 x(1，e)时， g( x)0.故 g(x)在(1，e)上单调递减，在(e，)上单调递增，故当 xe 时， g(x)的最小值为 g(e)e.所以 me. .6 分(2)由已知可知 k(x) x2ln x a，函数 k(x)在1,3上恰有两个不同零点，相当于函数 (x) x2ln x 与直线 y a 有两个不同的交点， ( x)1 ，故 (2)0，2x x 2x所以当 x1,2)时， ( x)0，所以 (x)单调递增所以 (1)1， (3)32ln 3， (2)22ln 2，且 (1) (3) (2)0，所以 22ln 21 时，
11、2x-20,从而 (x)0,从而函数 F（x）在-0,Fxe又 所 以（1,+)是增函数。又 F(1)= F(x)F(1)=0,即 f(x)g(x).-1e0， 所 以 1时 ， 有)证明：（1）若 .8 分2 1212(),),.x xx12由 （ ） 及 f(xf则 与 矛 盾 。（2）若 1()0)x由 （ ） 及 (得 与 矛 盾 。- 8 -根据（1） （2）得 1212()0,.xx不 妨 设由（）可知， ,则 = ，所以 ,从而 fg)2()f-)2f(x)2-)1f(x.因为 ，所以 ，又由（）可知函数 f(x)在区间（-，1）上为增)2f(-x22x函数，所以 ,即 2. .12 分1x1
