1、12.4.1 二次函数的应用一、教学目标1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值 2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题 二、课时安排1 课时三、教学重点掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值四、教学难点运用二次函数的知识解决实际问题五、教学过程（一）导入新课引导学生把握二次函数的最值求法：(1)最大值：(2)最小值：（二）讲授新课活动 1：小组合作如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD，其中 AB 和 AD 分别在两直角边上.(1)设矩形的一边 AB=xm,那么 AD
2、 边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为 ym2,当 x 取何值时,y 的值最大？最大值是多少?2解： 31ADbm,x0.4设 易 得 22()yx230.424:0,30.bacbxya最 大 值或 用 公 式 当 时活动 2：探究归纳先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值. （三）重难点精讲例题:某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为 15m.当 x 等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时
3、,窗户的面积是多少?解： 4715.yx由 7.4xy得22()S窗 户 面 积32715x25().46bacb.0,s4.02a最 大 值当 时即当 x1.07m 时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为 4.02m2.（四）归纳小结“最大面积” 问题解决的基本思路：1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.（五）随堂检测1 （包头中考）将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 c
4、m 2 2 （芜湖中考）用长度为 20m 的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为 2x m当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积 3 （潍坊中考）学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面 ABCD，已知矩形广场地面的长为 100 米，宽为 80 米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖（1）要使铺设白色地面砖的面积为 5 200 平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？（2）如图铺设白
5、色地面砖的费用为每平方米 30 元，铺设绿色地面砖的费用为每平方4米 20 元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？4 （南通中考）如图，在矩形 ABCD 中，AB=m（m 是大于 0 的常数） ，BC=8，E 为线段BC 上的动点（不与 B，C 重合） 连接 DE，作 EFDE，EF 与线段 BA 交于点 F，设CE=x，BF=y（1）求 y 关于 x 的函数关系式. （2）若 m=8，求 x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若 ，要使DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？ 25.（河源中考）如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用 40
6、 米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆设矩形的宽为x，面积为 y （1）求 y 与 x 的函数关系式，并求出自变量 x 的取值范围.（2）生物园的面积能否达到 210 平方米？说明理由 5【答案】1.12.52. 根据题意可得：等腰三角形的直角边为 m 矩形的一边长是 2xm,其邻边长为2x204x12,11022Sxxx所 以 该 金 属 框 围 成 的 面 积3,.当 时 金 属 框 围 成 的 图 形 面 积 最 大 2x6042m,10110.此 时 矩 形 的 一 边 长 为另 一 边 长 为S.最 大3.解; （1）设矩形广场四角的小正方
7、形的边长为 x 米，根据题意得：4x 2（1002x） （802x）5 200，整理得 x245x3500，解得 x135，x 210，经检验 x135，x 210 均适合题意，所以，要使铺设白色地面砖的面积为 5 200 平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为 35 米或者 10 米（2）设铺设矩形广场地面的总费用为 y 元，广场四角的小正方形的边长为 x 米，则y304x 2(1002x)(802x)202x(1002x)2x(802x) 即 y80x 23 600x240 000，配方得6y80（x225） 2199 500，当 x225 时，y 的值最小，最小值为 199 500，所
8、以当矩形广场四角的小正方形的边长为 225 米时，铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为 199 500 元 4. 在矩形 ABCD 中，B=C=90，在 RtBFE 中， 1+BFE=90，又EFDE， 1+2=90，2=BFE，RtBFERtCED， , BFECD8yxm即28xy当 m=8 时， 化成顶点式: 28,xy2148yx（3）由 ，及 得关于 x 的方程: 1m2，得280x126x，DEF 中FED 是直角，要使DEF 是等腰三角形，则只能是 EF=ED，此时， RtBFERtCED，当 EC=2 时，m=CD=BE=6；当 EC=6 时，m=CD=BE=2.即DEF
9、为等腰三角形，m 的值应为 6 或 2.5. 解：（1）依题意得：y=(40-2x)xy=-2x 2+40x7x 的取值范围是 0 x 20（2）当 y=210 时，由（1）可得，-2x 2+40x=210即 x2-20x+105=0 a=1，b=-20，c=105， 2(0)4150,此方程无实数根，即生物园的面积不能达到 210 平方米六板书设计2.4.1 二次函数的应用探究： 例题:“最大面积” 问题解决的基本思路：1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.七、作业布置课本 P47 练习练习册相关练习八、教学反思
