1、1第 3 节 函数的奇偶性与周期性基础对点练(时间：30 分钟)1下列函数中，为奇函数的是( )A y2 x B y x， x0,112xC y xsin x D yError!解析：因为 y2 x 2，所以它的图象不关于原点对称，故 A 不是奇函数；选项 B12x定义域不关于原点对称，故 B 不是奇函数；设 f(x) xsin x，因为 f( x)( x)sin( x) xsin x f(x)，所以 y xsin x 是偶函数故选 D.答案：D2设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f(x)2 x2 x，则 f(1)等于( )A3 B1C1 D3解析：因为 f(x)是奇函数，
2、当 x0 时， f(x)2 x2 x，所以 f(1) f(1)2(1) 2(1)3.答案：A3(高考新课标全国卷)设函数 f(x)， g(x)的定义域都为 R，且 f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )A f(x)g(x)是偶函数 B| f(x)|g(x)是奇函数C f(x)|g(x)|是奇函数 D| f(x)g(x)|是奇函数解析： f(x)是奇函数，则 f( x) f(x)， g(x)是偶函数，则 g( x) g(x)，则 f( x)g( x) f(x)g(x)，选项 A 错；|f( x)|g( x)| f(x)|g(x)，选项 B 错；f( x)|g( x)|
3、f(x)|g(x)|，选项 C 正确；|f( x)g( x)| f(x)g(x)|，D 错故选 C.答案：C4已知函数 f(x) ，若 f(a) ，则 f( a)等于( )x2 x 1x2 1 23A. B 23 232C. D43 43解析：根据题意， f(x) 1 ，而 h(x) 是奇函数，x2 x 1x2 1 xx2 1 xx2 1故 f( a)1 h( a)1 h(a)21 h(a)2 f(a)2 .23 43答案：C5已知 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 0 x1 时， f(x)lg x，设a f ， b f ， c f ，则 ( )(65) (32) (52)A c a b B
4、 a b cC b a c D c b a解析：因为 a f f f lg lg ，(65) ( 45) (45) 45 54b f f f lg lg 2，(32) ( 12) (12) 12c f f lg lg 2，(52) (12) 12所以 b a c.答案：A6定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x4) ，且 f(2)1，则 f(2 018)等于( )1f xA1 B1C2 D2解析： f(x4) ，1f x所以 f(x8) f(x)，1f x 4所以 f(2 018) f(25282) f(2)1.故选 A.答案：A7已知定义在 R 上的奇函数 f(x)和偶函数 g(x)满足
5、 f(x) g(x) ax a x2( a0，且 a1)若 g(2) a，则 f(2)等于( )A2 B.154C. D a2174解析：因为 f(x)为奇函数， g(x)为偶函数，所以 f(2) f(2)， g(2) g(2) a，3因为 f(2) g(2) a2 a2 2，所以 f(2) g(2) g(2) f(2) a2 a22，由联立得 g(2) a2， f(2) a2 a2 .154答案：B8函数 f(x)在 R 上为奇函数，且 x0 时， f(x) 1，则当 x0 时， f(x)x_.解析：因为 f(x)为奇函数， x0 时， f(x) 1，x所以当 x0 时， x0，f(x) f
6、( x)( 1)， x即 x0 时， f(x)( 1) 1. x x答案： 1 x9已知函数 f(x)为奇函数，函数 f(x1)为偶函数， f(1)1，则 f(3)_.解析：根据条件可得 f(3) f(21) f(21) f(1) f(1)1.答案：110已知 f(x)， g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且 f(x) g(x) x，则(12)f(1)， g(0)， g(1)之间的大小关系是_解析：在 f(x) g(x) x中，用 x 替换 x，得 f( x) g( x)2 x，由于 f(x)，(12)g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，所以 f( x) f(x)， g(
7、 x) g(x)，因此得 f(x) g(x)2 x.于是解得 f(x) ， g(x) ，于是 f(1) ， g(0)2 x 2x2 2 x 2x2 341， g(1) ，故 f(1) g(0) g(1)54答案： f(1) g(0) g(1)11(2018峨眉山模拟)设 f(x)的定义域为(，0)(0，)，且 f(x)是奇函数，当 x0 时， f(x) .x1 3x(1)求当 x0 时， f(x)的解析式；(2)解不等式 f(x) .x8解：(1)因为 f(x)是奇函数，所以当 x0 时，f(x) f( x)， x0，又因为当 x0 时， f(x) ，x1 3x4所以当 x0 时， f(x)
8、f( x) . x1 3 x x1 3 x(2)f(x) ，当 x0 时，即 ，x8 x1 3x x8所以 ，所以 ，所以 3x18，11 3x 18 13x 1 18解得 x2，所以 x(0,2)，当 x0 时，即 ，所以 ，x1 3 x x8 11 3 x 18所以 3 x3 2，所以 x2，所以解集是(，2)(0,2)能力提升练(时间：15 分钟)12函数 y f(x)(xR)的图象如图所示，下列说法正确的是( )函数 y f(x)满足 f( x) f(x)；函数 y f(x)满足 f(x2) f( x)；函数 y f(x)满足 f( x) f(x)；函数 y f(x)满足 f(x2)
9、f(x)A BC D解析：根据图象知函数 f(x)的图象关于原点对称，故为奇函数，所以正确；又其图象关于直线 x1 对称，所以正确答案：C13(2018济南一模)已知函数 y f(x)是 R 上的偶函数，当 x1， x2(0，)时，都有( x1 x2)f(x1) f(x2)0.设 aln ， b(ln ) 2， cln ，则( )1 A f(a) f(b) f(c) B f(b) f(a) f(c)C f(c) f(a) f(b) D f(c) f(b) f(a)解析：根据已知条件便知 f(x)在(0，)上是减函数，且 f(a) f(|a|)， f(b) f(|b|)， f(c) f(|c|)
10、，而| a|ln 1，| b|(ln ) 2| a|,0| c| | a|.ln 25答案：C14(2018菏泽模拟)定义在实数集 R 上的函数 f(x)满足 f(x) f(x2)0，且f(4 x) f(x)现有以下三种叙述：8 是函数 f(x)的一个周期； f(x)的图象关于直线 x2 对称； f(x)是偶函数其中正确的序号是_解析：由 f(x) f(x2)0，得 f(x2) f(x)，则 f(x4) f(x2) f(x)，即 4 是 f(x)的一个周期，8 也是 f(x)的一个周期，由 f(4 x) f(x)，得 f(x)的图象关于直线 x2 对称；由 f(4 x) f(x)与 f(x4)
11、 f(x)，得 f(4 x) f( x)， f( x) f(x)，即函数 f(x)为偶函数答案：15已知函数 f(x)Error!是奇函数(1)求实数 m 的值；(2)若函数 f(x)在区间1， a2上单调递增，求实数 a 的取值范围解：(1)设 x0，则 x0，所以 f( x)( x)22( x) x22 x.又 f(x)为奇函数，所以 f( x) f(x)，于是 x0 时， f(x) x22 x x2 mx，所以 m2.(2)由(1)知 f(x)在1,1上是增函数，要使 f(x)在1， a2上单调递增结合 f(x)的图象知Error!所以 1 a3，故实数 a 的取值范围是(1,316设
12、f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有 f(x2) f(x)，当x0,2时， f(x)2 x x2，(1)求证： f(x)是周期函数；(2)当 x2,4时，求 f(x)的解析式；(3)计算 f(0) f(1) f(2) f(2 018)(1)证明：因为 f(x2) f(x)，所以 f(x4) f(x22) f(x2) f(x)，所以 f(x)是周期为 4 的周期函数6(2)解：由 f(x2) f(x)，且 x0,2时， f(x)2 x x2，所以当 x2,4时，f(x) f(x2)2( x2)( x2) 2 x26 x8.即 f(x) x26 x8， x2,4(3)解：因为 f(0)0， f(2)0，f(1)1， f(3)1，所以 f(0) f(1) f(2) f(3)0，所以 f(0) f(1) f(2) f(2 018) f(2 016) f(2 017) f(2 018) f(0) f(1) f(2)1.
