1、 第五节连续函数的性质 一连续函数的运算性质 二闭区间上连续函数的性质 三小结与思考判断题 定理1 例如 1 四则运算的连续性 一 连续函数的运算性质 定理4 例如 定理3严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数 例如 反三角函数在其定义域内皆连续 定理3 注 1 定理的条件 内层函数有极限 外层函数在极限值点处连续 例1 解 例2 解 同理可得 二 初等函数的连续性 定理4基本初等函数在定义域内是连续的 定理5一切初等函数在其定义区间内都是连续的 定义区间是指包含在定义域内的区间 例1 例2 解 解 初等函数求极限的方法代入法 例3求 解 不能应用差的极限运算法则 须变形 先分子有理化 然
2、后再求极限 例4求 解 原式 说明 若 则有 三闭区间上连续函数的性质 在闭区间 a b 上连续 在 a b 内连续 在a点右连续 在b点左连续 闭区间上连续函数的定义 最大值和最小值定理 定义 例如 定理1 最大值和最小值定理 在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值 注意 1 若区间是开区间 定理不一定成立 2 若区间内有间断点 定理不一定成立 例如 无最大值和最小值 也无最大值和最小值 又如 推论 由定理1可知有 证 设 上有界 在闭区间上连续的函数在该区间上有界 3 介值定理 定义 几何解释 例1 证 由零点定理 推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值 证 由零点
3、定理 例2 例4 证 由零点定理知 总之 注 方程f x 0的根 函数f x 的零点 有关闭区间上连续函数命题的证明方法 10直接法 先利用最值定理 再利用介值定理 20间接法 辅助函数法 先作辅助函数 再利用零点定理 辅助函数的作法 1 将结论中的 或x0或c 改写成x 2 移项使右边为0 令左边的式子为F x 则F x 即为所求 区间一般在题设中或要证明的结论中已经给出 余下只须验证F x 在所讨论的区间上连续 再比较一下两个端点处的函数值的符号 或指出要证的值介于F x 在所论闭区间上的最大值与最小值之间 内容小结 左连续 右连续 第一类间断点 可去间断点 跳跃间断点 左右极限都存在 第二类间断点 无穷间断点 振荡间断点 左右极限至少有一个不存在 在点 间断的类型 基本初等函数在定义区间内连续 连续函数的四则运算的结果连续 连续函数的反函数连续 连续函数的复合函数连续 初等函数在定义区间内连续 说明 分段函数在界点处是否连续需讨论其左 右连续性 3 初等函数连续性 4 四个定理 有界性定理 最值定理 介值定理 根的存在性定理 注意1 闭区间 2 连续函数 这两点不满足上述定理不一定成立 备用题确定函数 间断点的类型 解 间断点 为无穷间断点 故 为跳跃间断点 思考题一 思考题一解答 是它的可去间断点 思考题二 下述命题是否正确 思考题二解答 不正确 例函数
