1、126 正多边形与圆一、选择题1下列说法中，正确的是( )链 接 听 课 例 3归 纳 总 结A各边相等的多边形是正多边形B圆内接菱形是正方形C各角相等的圆内接多边形是正多边形D正多边形都是中心对称图形2. 如图 25K1，四边形 ABCD 是 O 的内接正方形， P 是劣弧 AB 上任意一点(与点 B不重合)，则 BPC 的度数为( )A30 B45 C60 D90图 25K1 图 25K232016杭州期末如图 25K2，正五边形 ABCDE 内接于 O，则 ABD 的度数为( )A36 B72 C108 D1444如图 25K3，等边三角形 ABC 内接于 O.若边长为 4 cm，则 O
2、 的半径为( )3A6 cm B4 cm C2 cm D2 cm35已知正方形的外接圆的半径是 R，则正方形的周长是( )A. R B2 R C4 R D8 R2 2图 25K3 图 25K46将圆六等分时，如图 25K4，只需在 O 上任取点 A，从点 A 开始，以 O 的半径为半径，在 O 上依次截取点 B， C， D， E， F.从而点 A， B， C， D， E， F 把 O 六等分下列可以只用圆规等分的是( )二等分；三等分；四等分；五等分A BC D二、填空题7如果一个正多边形的中心角为 45，那么这个正多边形的边数是_2图 25K582017海曙区模拟如图 25K5， AB 为
3、O 的内接正多边形的一边，已知 OAB70，则这个正多边形的内角和为_.9如图 25K6，点 O 是正五边形 ABCDE 的中心，则 BAO 的度数为_图 25K610.如图 25K7，将正六边形 ABCDEF 放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合若点 A 的坐标为(1，0)，则点 C 的坐标为_图 25K7三、解答题11. 如图 25K8，正六边形的螺帽的边长 a17 mm，这个扳手的开口 b 应是多少？图 25K812作图与证明：如图 25K9，已知 O 和 O 上的一点 A，请完成下列任务：3(1)作 O 的内接正六边形 ABCDEF；(2)连接 BF， CE，判断四边形 BCEF 的形
4、状，并加以证明.图 25K913. 如图 25 K10，O 的半径为 4 cm，其内接正六边形 ABCDEF，点 P，Q 同时分别从 A，D 两点出发，以 1 cm/s 的速度沿 AF，DC 向终点 F，C 运动，连接 PB，QE，PE，BQ.设运动时间为 t(s)(1)求证：四边形 PEQB 为平行四边形(2)填空：当 t_ s 时，四边形 PBQE 为菱形；当 t_ s 时，四边形 PBQE 为矩形图 25 K10动点问题如图 25 K11，正三角形 ABC、正方形 ABCD、正五边形 ABCDE 分别是O 的4内接三角形、内接四边形、内接五边形，点 M，N 分别从点 B，C 开始，同时以
5、相同的速度在O 上逆时针运动，AM，BN 相交于点 P.图 25 K11(1)求图中APB 的度数(2)图中APB 的度数是_，图中APB 的度数是_(3)根据前面的探索，你能否将本题推广到一般的正 n 边形？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由5详解详析【课时作业】课堂达标1解析 B 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形， A 选项错误；菱形的对角相等，圆内接四边形对角互补，该菱形的四个角都为 90，圆内接菱形是正方形， B 选项正确；圆的内接矩形不是正多边形，各角相等的圆内接多边形不一定是正多边形， C 选项错误；正五边形不是中心对称图形，故 D 选项错误故选 B.2解析 B
6、如图，连接 OB，OC.四边形 ABCD 是O 的内接正方形，BOC90，BPC BOC45.12故选 B.3解析 B 五边形 ABCDE 为正五边形，ABCC 108.（ 5 2） 1805CDCB，CBD 36，180 1082ABDABCCBD72.故选 B.4 B 5. C6解析 C 只用圆规等分，可以将圆二等分，三等分，四等分，故选 C.7答案 8解析 这个多边形的边数是 360458，故答案为 8.8答案 1260解析 OAOB，OABOBA70，AOB40.AB 为O 的内接正多边形的一边，正多边形的边数为 9，36040这个正多边形的内角和(92)1801260.9答案 546
7、解析 如图，连接 OB，则 OBOA，BAOABO.点 O 是正五边形 ABCDE 的中心，AOB 72，3605BAO (18072)54.1210 答案 (12， 32)解析 如图，连接 OC.A(1，0)，OA1.正六边形 ABCDEF 的中心与坐标原点重合，在 RtOCG 中，GOC30，OC1，GC ，OG ，12 32C .故答案为 .(12， 32) (12， 32)11解：设正六边形的中心是 O，其一边是 AB，连接 OA，OB，过点 O 作 OCAB 于点C，如图由正六边形的性质可得AOB60，OAAB17 mm.OAOB，OCAB，AOC30，AC OA8.5 12mm，O
8、C mm，b2OC17 mm.OA2 AC217 32 312解析 (1)由正六边形 ABCDEF 的中心角为 60，可得OAB 是等边三角形，继而7可得正六边形的边长等于半径，则可画出O 的内接正六边形 ABCDEF；(2)首先连接 OE，由六边形 ABCDEF 是正六边形，易得 EFBC， ，则可得BF CE BFCE，证得四边形 BCEF 是平行四边形，然后由EDCDEF120，DEC30，求得CEF90，则可证得结论解：(1)如图，首先作直径 AD，然后分别以 A，D 为圆心，OA 长为半径画弧，分别交O 于点 B，F，C，E，连接 AB，BC，CD，DE，EF，AF，则正六边形 AB
9、CDEF 即为所求(2)四边形 BCEF 是矩形证明：如图，连接 OE.六边形 ABCDEF 是正六边形，ABAFDEDCFEBC， ， ，BFCE，AB AF DE DC BF CE 四边形 BCEF 是平行四边形EOD 60，OEOD，3606EOD 是等边三角形，OEDODE60，EDCFED2ODE120.DEDC，DECDCE30，CEFFEDDEC90，四边形 BCEF 是矩形13解：(1)证明：正六边形 ABCDEF 内接于O，ABBCCDDEEFFA，AABCCDDEFF.点 P，Q 同时分别从 A，D 两点出发，以 1 cm/s 的速度沿 AF，DC 向终点 F，C 运动，A
10、PDQ. 在ABP 和DEQ 中， AB DE， A D，AP DQ， )ABPDEQ( SAS)，BPEQ.同理可证 PEQB，四边形 PEQB 是平行四边形(2)当 PAPF，QCQD 时，四边形 PBQE 是菱形，此时 t2 s故答案为 2.当 t0 s 时，EPFPEF30，BPE1203090，此时四边形 PBQE 是矩形当 t4 s 时，同法可知BPE90，此时四边形 PBQE 是矩形8综上所述，t0 s 或 4 s 时，四边形 PBQE 是矩形故答案为 0 或 4.素养提升解：(1)点 M，N 分别从点 B，C 开始，同时以相同的速度在O 上逆时针运动， ，BM CN BAMCBN，BPMABNBAMABNCBNABC60，APB180BPM120.(2)90 72(3)能推广到一般的正 n 边形问题：正 n 边形 ABCD内接于O，点 M，N 分别从点 B，C 开始，同时以相同的速度在O 上逆时针运动，AM，BN 相交于点 P，求APB 的度数结论：APB 的度数为所在正多边形一个外角的度数，即APB . 360n
