1、第六章系统的稳定性,本章的主要内容 1.系统稳定性的定义和条件 2.系统稳定判据 3.稳定性裕量 4.根轨迹 本章重点与难点 1.系统稳定的条件 2.系统稳定判据,61系统稳定的条件,一稳定的概念和定义,图1稳定平衡点 图2不稳定平衡点 图3 稳定区域（条件稳定）,所谓的稳定性是指系统在使它偏离平衡状态的干扰消除 之后，系统能以足够的精度逐渐恢复到原来的状态。,二系统稳定的条件,系统的传递函数系统的特征方程,系统稳定的充要条件是：稳定系统的特征方程根必须全部具有负实部，系统传递函数的极点全部位于 复平面的左半部分。,一般情况下，确定系统稳定性的方法有两种： 1 直接计算或间接得知系统特征方程式
2、的根 2 确定保证特征方程的根具有负实部的系统参数的区域,62劳斯胡尔维茨稳定判据,一.胡尔维茨稳定判据,系统的特征方程式 首项系数,系统稳定的充要条件是： 1.系统特征方程式的各项系数全部为正值。 即 2.由各项系数组成的 阶行列式中各阶子行列式都大于零。,首先在主对角线上从 开始依次写进特征方程的系数，直到写到 为止，然后由主对角线上的系数出发，写出每一列的各元素，每列元素由上到下按 的脚标递增。当写到特征方程中不存在的系数时以零代替。,例：系统的特征方程为 ，判断系统的稳定性 例：单位负反馈系统的开环传递函数，求使系统稳定的 值范围,阶行列式是按下列规则建立的：,二.劳斯判据,1.列出系
3、统特征方程其中 ，各项系数均为实数。检查各项系数是否都 大于零，若都大于零，则进行第二步。,2.按系统的特征方程式列出劳斯表,3考察表中第一列各数的符号，若第一列各数均为正数，系统稳定，如果第一列中有负数，系统不稳定，第一列中数值符号的改变次数即等于特征方程含有正实部根的数目。,例：系统的特征方程为,63奈氏稳定判据,系统的传递函数 系统的特征方程令,函数 的零点数 ，极点数为,上述各函数零点与极点之间的对应关系可示意如下,Z闭环右极点个数，正整数或零 P开右极点个数，正整数或零 N 从 时， 封闭曲线在 平面内包围 点的次数。当按逆时针方向包围，当按顺时针方向包围 ，曲线不包围 点时 我们可
4、以根据上式，根据开环右极点数目和开环奈 氏曲线对 点的包围次数N，来判断闭环右极 点数Z是否等于零。若系统稳定，闭环不能有右极 点，即必须使 ,也就是要求 。,由幅角定理可以证明,应用奈氏判据判断系统稳定性的一般步骤如下：,1.根据开环传递函数确定P 2.绘制 从 时开环频率特性，并在曲线上标出 从 的方向。根据曲线包围点的次数和方向，求出N的大小和正负 3.运用判据 ，确定系统是否稳定 如果刚好通过 点，系统处于临界稳定状态，归入不稳定情况。,二.奈氏判据举例,1.开环传递函数中没有 的极点,例：单位负反馈系统的开环传递函数为 ， 其中 判断系统的稳定性,例：,2.开环传递函数中有 的极点,
5、64系统的相对稳定性,关于相位裕量和幅值裕量的一些说明,1.控制系统的相位裕量和幅值裕量，是开环奈氏曲线对点 靠近的度量，因此这两个裕量可以用作设计准则。 2.为了得到满意的性能，相位裕量 应在 之间，幅值裕 量 应当大于 3.对于最小相位系统，只有当相位裕量和幅值裕量都为正时，系 统才是稳定的，为了确定系统的稳定性储量，必须同时考虑相位 裕量和幅值裕量两项指标，只用其中一项指标不足以说明系统的 相对稳定性。 4.对于最小相位系统，开环幅频和相频特性之间有确定的对应关 系， 的相位裕量意味着在开环波德图上，对数幅频特性曲 线在幅值交界频率处的斜率必须大于40，在大多数实际系统中，为了保证系统稳
6、定，要求处的斜率为20，如果处的斜率必须为 40，系统即使稳定，相位裕量也较小，相对稳定性也是很差的。,例：已知系统的开环传递函数，当 时， 求系统的相位裕量和幅值裕量。,6.5根轨迹简介,一根轨迹,所谓的根轨迹是指开环系统某个参数由零变化到无穷 大时，闭环系统特征方程的根在 平面上移动的 轨迹。,根轨迹图表示了 变化时闭环极点所有可能的分布情 况，根轨迹作图法的思路是依据系统的开环与闭环传递 函数的确定关系，由开环的零极点来寻找闭环极点的轨 迹。,例：已知单位负反馈系统的开环传递函数为试分析该系统的特征方程的根随参数K的变化在S平面上的分布情况,二根轨迹作图方法,1绘制根轨迹的依据 根轨迹的
7、基本任务在于：由已知的开环零、极点的分布及根轨迹增益，通过图解的办法找出闭环极点，K由零变到无穷大时，闭环系统特征方程的根在S平面上运动的轨迹。因此，系统的特征方程便是绘制根轨迹的依据。,系统的特征方程为,2.绘制根轨迹的基本规则,1.根轨迹是连续的。 2.根轨迹对称于根平面的实轴。 3.根轨迹的起点、终点和条数 根轨迹的条数为特征方程中 的最高次方 起点为开环极点，终点为开环零点。,起点为开环极点，终点为开环零点,当 时，开环极点数与零点数相同时，根轨迹的起点与终点均有确定的值。 当 时，其中 条终止于个开环零点，另 条终止于 平面无穷远处， 当 时，其中 条起始于个 开环极点，另 条起始于
8、 平面无穷远处，,4.实轴上的根轨迹由位于实轴上的开环零点、极点来确定。其存在的条件是：在其线段右边有奇数个开环零点和开环极点， 5.根轨迹的渐进线根轨迹趋向无穷远的渐近线。,6.分离点,一般常见的根轨迹分离点是位于实轴上两条根轨迹分支的分离点，或根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间（其中一个可以是无限极点），则在这两个极点之间至少存在一个分离点。若根轨迹位于实轴上两个相邻的零点（一个零点可以位于无穷远处）之间，则在这两个相邻的零点之间，至少存在一个分离点，但有些情况下根轨迹的分离点也可能以共轭形式成对出现在复平面上，复平面上的分离点表明系统特征方程的根中至少有两对相等的共轭复根存在。,求分离点的方程当开环系统无有限零点时,7.起始角与终止角,起始角：根轨迹离开 开环复数极点处的 切线方向与实轴 正方向的夹角,终止角：根轨迹进入 开环复数零点处的 切线方向与实轴 正方向的夹角,8.求根轨迹与虚轴的交点,根轨迹与虚轴的交点，就是闭环系统特征方程的纯虚根， 用 代入特征方程，然后再使其实部和虚部分别等于零，虚部为零可求出根轨迹与虚轴的交点 ，用 代入实部方程，可求出系统开环根轨迹增益的临界值,例：已知单位负反馈系统的开环传递函数为绘制该系统的根轨迹,
