1、系统稳定性理论稳定性可以这样定义：当一个实际的系统处于一个平衡的状态时，如果受到外来作用的影响时，系统经过一个过渡过程仍然能够回到原来的平衡状态，我们称这个系统就是稳定的，否则称系统不稳定。一个控制系统要想能够实现所要求的控制功能就必须是稳定的。在实际的应用系统中，由于系统中存在储能元件，并且每个元件都存在惯性。这样当给定系统的输入时，输出量一般会在期望的输出量之间摆动。此时 系统会从外界吸收能量。对于稳定的系统振荡是减幅的，而对于不稳定的系统，振荡是增幅的振荡。前者会平衡于一个状态，后者却会不断增大直到系统被损坏。既然稳定性很重要，那么怎么才能知道系统是否稳定呢？控制学家们给我们提出了很多系
2、统稳定与否的判定定理。这些定理都是基于系统的数学模型，根据数学模型的形式，经过一定的计算就能够得出稳定与否的结论，这些定理中比较有名的有： 劳斯判据、赫尔维茨判据、 李亚谱 若夫三个定理。这些稳定性的判别方法分别适合于不同的数学模型，前两者主要是通过判断系统的特征值是否小于零来判定系统是否稳定，后者主要是通过考察系统能量是否衰减来判定稳定性。当然系统的稳定性只是对系统的一个基本要求，一个另人满意的控制系统必须还要满足许多别的指标，例如过渡时间、超调量、稳态误差、调节时间等。一个好的系统往往是这些方面的综合考虑的结果。劳斯判据劳斯判据，又称为代数稳定判据。劳斯于 1877 年提出的稳定性判据能够
3、判定一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根，而不必求解方程。由此劳斯获得了亚当奖。劳斯判据，这是一种代数判据方法。它是根据系统特征方程式来判断特征根在 S 平面的位置，从而决定系统的稳定性.由于不必求解方程，为系统的稳定性的判断带来了极大的便利。假若劳斯阵列表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的，即特征方程所有的根均位于根平面的左半平面。假若第一列系数有负数，则第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。劳斯判据不仅可以判别系统稳定不稳定，即系统的绝对稳定性，而且也可检验系统是否有一定的稳定裕量，即相对稳定性。另外劳斯判据还可用来分析系统参数对稳定性的影响和鉴别延滞系统的稳定性
4、。赫尔维茨判据 赫尔维茨提出了另一种形式的代数判据。它以特征方程的各系数 ai( i =0 ， 1 ， n) 构造 n n 维的赫尔维茨行列式 D 线性定常系统稳定的充分必要条件为，赫尔维茨行列式的各阶主子式均大于零： 李亚谱若夫稳定判据Lyapunov 意义下的稳定性定义定义 1 设系统，),(txf0),(tfe之平衡状态 的 H 邻域为0ee其中， ， 为向量的 2 范数或欧几里德范数，即 2/1221 )()()( neeee xxx类似地，也可以相应定义球域 S(）和 S(）。在 H 邻域内，若对 于任意给定的 ，均有H0(1) 如果对应于每一个 ，存在一个 ，使得)当 t 趋于无穷
5、时，始于 S()的轨迹不脱离 S()，则式(4.1)系统之平衡状 态 称为在 Lyapunov 意义下0ex是稳定的。一般地， 实数 与 有关，通常也与 t0 有关。如果 与 t0 无关，则称此时之平衡状态 为一致ex稳定的平衡状态。以上定义意味着：首先选择一个球域 S(），对应于每一个 S(），必存在一个球域 S(），使得当 t 趋于无穷时，始于 S(）的轨迹总不脱离球域 S(）。(2) 如果平衡状 态 ，在 Lyapunov 意义下是0ex稳定的，并且始于域 S(）的任一条轨迹，当时间 t 趋于无穷时，都不脱离 S(），且收敛 于 ，则称式0ex(4.1）系统 之平衡状态 为渐近稳定的，其
6、中球域0exS(）被称为平衡状 态 的吸引域。类似地，如果 与 t0 无关，则称此时之平衡状态为 一致渐近稳定的。0ex实际上，渐近稳定性比 Lyapunov 意义下的稳定性更重要。考虑到非线性系统的渐近稳定性是一个局部概念，所以简单地确定渐近稳定性并不意味着系统能正常工作。通常有必要确定渐近稳定性的最大范围或吸引域。它是发生渐近稳定轨迹的那部分状态空间。换句话说，发生于吸引域内的每一个轨迹都是渐近稳定的。(3) 对所有的状态（状态空间中的所有点），如果由这些状态出发的轨迹都保持渐近稳定性，则平衡状态 称为大范围渐近稳定。或者说，如果式 (4.1）0ex系统之平衡状态 渐近稳定的吸引域为整个状
7、态0ex空间，则称此时系统的平衡状态 为大范围渐近0ex稳定的。显然，大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一个平衡状态。在控制工程问题中，总希望系统具有大范围渐近稳定的特性。如果平衡状态不是大范围渐近稳定的，那么问题就转化为确定渐近稳定的最大范围或吸引域，这通常非常困难。然而，对所有的实际问题，如能确定一个足够大的渐近稳定的吸引域，以致扰动不会超过它就可以了。(4) 如果对于某个实数 0 和任一个 实数 0，不管这两个实数多么小，在 S（）内总 存在一个状态 ，0x使得始于这一状态的轨迹最终会脱离开 S(），那么平衡状态 称为不稳定的。0ex图 1 （a）稳 定平衡状态 及一条典型轨
8、迹;（b）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹;（c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹表 1 线性系统稳定性概念与 Lyapunov 意义下的稳定性概念经典控制理论(线性系统)不稳定 (Re(s)0)临界情况 (Re(s)=0)稳定 (Re(s)0)Lyapunov 意义下 不稳定 稳定 渐近稳定Lyapunov 稳定性判定Lyapunov 第一法和 Lyapunov 第二法。第一法通过求解微分方程的解来分析运动稳定性，即通过分析非线性系统线性化方程特征值分布来判别原非线性系统的稳定性；第二法则是一种定性方法，它无需求解困难的非线性微分方程，而转而构造一个 Lyapunov 函数，研究它的正定性及其对时间的沿系统方程解的全导数的负定或半负定，来得到稳定性的结论。这一方法在学术界广泛应用，影响极其深远。一般我们所说的Lyapunov 方法就是指 Lyapunov 第二法。Lyapunov 渐进稳定物理意义：即如果系统有一个渐近稳定的平衡状态，则当其运动到平衡状态的吸引域内时，系统存储的能量随着时间的增长而衰减，直到在平稳状态达到极小值为止。
