1、6 多自由度体系的微振动,内容： · 振动概述,· 两个自由度保守系的自由振动,· n个自由度保守系的自由振动,· 简正坐标和简正振动,重点： · 两个自由度的自由振动,· 简正坐标,难点： · 多自由度的自由振动,难点： 多自由度的自由振动,振动现象在宏观的工程技术中和微观领域（如固体物理中的晶格、光学中的分子振动光谱等）中普遍存在。本章讨论多自由度体系微振动的一般处理方法和微振动在物理上的应用。,6.1 振动概述,（1）振动的分类,按体系的能量变化情况可把振动分为自由振动（机械能守恒）、阻尼振动（机械能不断转化为热能）和
2、强迫振动（不断从外界获得能量）三类，其运动微分方程是同一种类型的。,按体系的自由度划分，振动分为单自由度振动、有限多自由度振动和无限自由度振动三类。,按微分方程的类型，振动分为线性振动和非线性振动两类。,（2）线性振动概念,凡力学体系在平衡位置附近作微振动（振幅很小），只考虑一级（最低级）近似时，其运动微分方程为线性方程，这种振动都属于线性振动。,（3）力学体系平衡位置的性质,平衡位置的三种情况：如图6.1所示,（a）稳定平衡,如果在某一位置，保守系的势能有严格的极小值，则此位置是体系的稳定平衡位置保守系平衡位置稳定性拉格朗日定理，即,（自由度为1）,（6.1）,（6.2）,（b）不稳定平衡,
3、势能在平衡位置取极大值时为不稳定平衡。,（c）随遇平衡,势能在平衡位置为常数时为随遇平衡。,6.2 两个自由度保守系的自由振动,（1）拉格朗日方程,（6.1）,对于平衡位置附近的微振动、体系的约束是稳定的，动能必为广义速度的二次齐次式，即,（6.2）,势能仅是广义坐标的函数,（6.3）,（6.4）,（6.5）,将（6.5）和（6.6）代入（6.1）得,（6.7）,或,（6.8）,上式为两个自由度保守系的自由振动微分方程，是一个二阶常系数线性齐次微分方程组。,（2）微分方程的解.频率方程（久期方程）,用常规方法求解。设（6.7）式的解为,（6.9）,将（6.9）式代入（6.7）得,（6.10）,
4、或,（6.11）,（6.12）,为,和,（6.13）,（6.14）,例1 两个相同的单摆耦合成双单摆。求体系微振动的运动规律。,（1）,将（1）代入拉格朗日方程得,（2）,令（2）式的特解为,（3）,将（3）代入（2）得,（4）,（5）,由（5）得,（6）,将（6）代入（4）中的任一式得振幅比值,（7）,（8）,例2 试求如图6.3所示的两个耦合振子的振动频率。,（1）,将（1）代入拉格朗日方程得,（2）,（3）,和,6.3 n个自由度保守体系的自由振动,（1）拉格朗日方程,将体系的动能和势能在平衡位置展开成泰勒级数保留到二级小量，得,（6.15）,代入拉格朗方程，得,（6.16）,（2）振动
5、规律（拉格朗方程的通解）,令（6.16）的特解为,（6.17）,（6.17）代入（6.16）式：,（6.18）,要使上式有不为零的解的条件为,（6.19）,振幅比：,方程（6.16）的一个特解为,（6.21）,这些特解的线性叠加即为通解：,（6.22）,个振幅,（6.20）式中提供了n（n-1）个已知的比,6.4 简振坐标和简正振动,力学体系的广义坐标可有多种选取方式，广义坐标选取得当，拉格朗日方程很容易求解。,以双单摆为例。,或,（6.23）,由此可得,（6.24）,代入拉格朗日方程，得,（6.25）,显然通解为,（6.26）,其中,（6.27）,（6.28）,则代入拉格朗方程得,（6.29）,其解即为,（6.30）,简正坐标描述了体系在振动过程中只以一个频率振动，其余频率的振动没有激发，这种以单一频率的振动模式称为简正振动式本征振动。体系的任一种振动状态，则是各种简正振动的线性叠加。,6.5 解题指导,（1）习题类型基本解法,基本解法：先应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程，然后解 方程。,（2）范例,弦的等分点上三个相同质点m的振动（P.181例）,（1）,弦的弹性势能和动能为,将T、V代入拉格朗日方程得,设（2）式的特解为,（3）,（2）,（5）式有不为零的解的条件是,（5）,它的三个根为,（6）,（4）,（7）,（8）,（9）,则方程（2）的通解为,（10）,
