1、热力学与统计物理,玻色统计和费米统计,http:/125.217.162.13/lesson/TheoreticalPhysicsI,玻色统计和费米统计,热力学量的统计表达式弱简并理想玻色气体和费米气体玻色爱因斯坦凝聚光子气体金属中的自由电子气体白矮星*二维电子气体与量子霍尔效应*,热力学量的统计表达式(1/2),经典极限条件(非简并条件),非简并气体：满足经典极限条件的气体(玻耳兹曼分布)简并气体：不满足以上条件的气体(玻色、费米分布)玻色系统巨配分函数(关于 , , y 的函数),平均总粒子数(平均分布观点),内能,热力学量的统计表达式(2/2),外界对系统的广义力,熵,简单系统与巨热力势
2、,费米系统,平均总粒子数、内能、广义力和熵的形式相同,弱简并理想玻色气体(1/1),弱简并理想气体接近非简并条件：e- 或 n3 小但不可忽略不考虑分子的内部结构 符号：适用于费米系统，适用于玻色系统在体积 V 内， 附近的分子微观状态数,总粒子数和内能,第一项是玻耳兹曼分布的内能第二项是全同性原理引起的附加内能，数值很小费米气体的附加内能0 (粒子间的等效排斥作用)玻色气体的附加内能0 (粒子间的等效吸引作用),玻色爱因斯坦凝聚(1/3),全同性原理引起的量子统计关联e- 或 n3 小但不可忽略：弱简并情形，影响很小n3 2.612：玻色爱因斯坦凝聚玻色爱因斯坦凝聚化学势,临界温度,当 T
3、+TC 时,玻色爱因斯坦凝聚(2/3),当 T TC 时,在 T 1电子是费米子经典统计的困难：一个自由电子的热容量将有 3k/2 的贡献，与实际不符(与离子振动的热容量相比，可忽略不计)费米统计下的自由电子强简并(铜),电子的分布,当给定电子数 N、温度 T 和体积 V 时，用于确定化学势 ,金属中的自由电子气体(2/4),当 T = 0 K 时(化学势为 (0),0 K 时电子尽可能占据能量最低的态，但泡利不相容原理限制每个态最多容纳一个电子，即占据 = 0 (0)费米能级 (0) 、费米动量 pF 和费米温度 TF,内能和压强,电子气体的简并压：泡利不相容原理+高密度电子气体,与玻色气体
4、不同：具有很高的平均能量、动量和压强 与玻色气体相同：完全确定的微观状态，熵为零,金属中的自由电子气体(3/4),当 T 0 K 时(化学势为 (T),仅在 附近(范围为 kT 数量级)，电子的分布与当 T = 0 K 时有差异：温度升高热激发电子，只有在 附近的电子不需要吸收很大的热量，才有较大的跃迁几率电子热容量的粗略估计,金属中的自由电子气体(4/4),热容量的定量计算,常温范围：电子热容量远小于离子振动热容量低温范围：离子振动热容量以 T 3 减少，电子热容量以 T 减少，所以在足够低的温度下电子热容量成为金属热容量的主要部分CV = T + AT 3自由电子气体模型的不足电子在离子的
5、周期性势场中运动离子的热振动对电子运动有影响电子之间存在库仑相互作用,白矮星(1/2),一般性质年龄比较大：热核反应基本结束，星体主要由氦组成辐射能来自星体缓慢收缩所释放的引力势能体积很小，密度很大，例如,质量与太阳的大致相同：,密度太阳的 107 倍：,中心温度与太阳的大致相等：,近似为绝对零度的理想费米气体：N 个电子 + N/2 个氦核,近似为绝对零度的理想费米气体：,电子气体高度简并，简并压与引力达到暂态平衡,电子静止质量的能量,：显著(但不压倒性)的相对论效应,白矮星(2/2),质量,(引力引起的压强),非相对论情形,：质量越大，半径越小,极端相对论情形,：(钱德拉塞卡极限)质量是一
6、个常数,白矮星质量 = mw0：电子气体简并压与引力达到平衡白矮星质量 引力，星体膨胀，电子动能降低，大多数电子变为非相对论性质白矮星质量 mw0：电子气体简并压 引力，星体坍缩，导致新过程(如超新星爆发) 仅质量小于 mw0 的星体可成为白矮星( mw0 = 1.44太阳质量),二维电子气体与量子(1/5),金属-氧化物-半导体系统(MOS),由金属 Al、氧化物 SiO2 和半导体 Si 构成,在由金属和半导体之间施加适当电压 Vg，使半导体和氧化物之间形成电子导电层(约 10 nm),电子在 z 方向的运动受限且为分立能级，在 xy 平面可以自由运动，形成二维电子气体(在适当范围内电子密
7、度与 Vg 成正比，可连续改变),一般的霍尔效应,现象：样品有 x 方向的电流,，在 z 方向上加磁场,，会在 y 方向引起电势差,解释(假设载流子是电子),有 x 方向的电流 = 导电电子的平均速度沿 -x 方向z 方向的磁场 = 电子受 -y 方向的洛伦兹力而横向运动横向运动 = 电荷在样品边缘积聚产生 -y 方向的电场，直至与洛伦兹力抵消,二维电子气体与量子(2/5),纵向电流 Ix 和霍尔电阻 r H,磁场恒定时，霍尔电阻与电子密度成反比电子密度恒定时，霍尔电阻与磁场成反比霍尔电阻与具体样品的尺度无关(二维特有),整数量子霍尔效应,低温和恒定强磁场下的霍尔效应霍尔电阻 r H 与 Vg
8、 成反比的基础上出现一系列具有一定宽度的平台平台处的霍尔电阻 rH 是量子化的,二维电子气体与量子(3/5),零磁场下的二维电子气体,电子的能量,态密度,对应每一个 ezi，kx 和 ky 有多种取值，使得电子的二维运动形成子能带,非零磁场下的二维电子气体,电子平面运动的能量是间距为 w 的分立能级，称为朗道能级,简并度,二维电子气体与量子(4/5),在 kT w 时，电子不能被热激发，只有填满的朗道能级的电子可以不受散射地纵向移动，维持恒定的 Ix 而没有纵向电压降落,量子化的霍尔电阻,样品杂质/缺陷的影响,朗道能级被展宽为朗道能带,杂质束缚电子态不参与导电随电子密度增加，电子首先填充第一个
9、朗道能带霍尔电阻下降当第一个朗道能带填满后，填充两能带之间的束缚电子态霍尔电阻不再下降当开始填充第二个朗道能带霍尔电阻继续下降,二维电子气体与量子(5/5),分数量子霍尔效应,低温和恒定强磁场下的霍尔效应GaAs (AlGa) As 异质结界面的二维电子系统霍尔电阻 r H 的平台,出现在高迁移率和高纯度的样品电子之间强关联，产生具有分数电荷的准电子和准空穴,思考题,写出在玻色和费米系统中，巨配分函数，内能、广义作用力和熵的统计表达式，熵的玻耳兹曼关系什么是弱简并理想气体什么是玻色爱因斯坦凝聚及其性质了解关于玻色凝聚现象的实验什么是理想玻色气体出现凝聚的条件什么是光子气体什么是普朗克公式、瑞利-金斯公式、维恩公式什么是金属中的自由电子气体什么是费米能级、费米动量和费米温度，及其意义 什么是金属中的自由电子气体0 K 的金属自由电子气体与玻色气体的比较,作业,作业：8.4，8.5，8.6，8.10，8.18，8.19,
