1、12018 年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理（全国卷 2）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12iA43i5B43i5C34i5D34i52已知集合 2xyxyZ， ， ，则 A中元素的个数为 A9 B8 C5 D43函数2exf的图像大致为 4已知向量 a， b满足 |1， ab，则 (2)abA4 B3 C2 D05双曲线2(0,)xyab的
2、离心率为 3，则其渐近线方程为A yxB yxC2yxD32yx6在 BC 中，5cos2， 1C， 5A，则 BA 4B 30C 29 D 257为计算12491S，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入2A 1i B 2 C 3i D 48我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 3072在不超过 30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于 30 的概率是A12B14C15D189在长方体 1CDA中， ， 13A，则异面直线 1A与 B所成角的余弦值为A15B56C 5 D210若 ()cosinfx
3、x在 ,a是减函数，则 a的最大值是A4B2C34D 11已知 ()fx是定义域为 (,)的奇函数，满足 (1)()fxf若 (1)2f，则12350ffA 50B0 C2 D5012已知 1F， 2是椭圆21(0)xyCab：的左，右焦点， A是 C的左顶点，点 P在过 A且斜率为36的直线上， 12PF 为等腰三角形， 120FP，则 的离心率为A2B C 3 D14二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13曲线 2ln(1)yx在点 (0,)处的切线方程为_14若 ,xy满足约束条件235yx，则 zxy的最大值为 _15已知 sinco1， sin0，则 sin(
4、)_开 始0, 0N T S NT S输 出1i100i1NNi 11TTi结 束是 否316已知圆锥的顶点为 S，母线 A， SB所成角的余弦值为78， SA与圆锥底面所成角为 45，若SAB的面积为 51，则该圆锥的侧面积为_三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17（12 分）记 nS为等差数列 na的前 项和，已知 17a， 315S（1）求 的通项公式；（2）求 n，并求 nS的最小值18（12 分）下图是某地区 2000 年至 201
5、6 年环境基础设施投资额 y（单位：亿元）的折线图为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了 y与时间变量 t的两个线性回归模型根据2000 年至 2016 年的数据（时间变量 t的值依次为 127， ， ， ）建立模型： 30.415yt；根据2010 年至 2016 年的数据（时间变量 t的值依次为 ， ， ， ）建立模型： 97.t（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由 19（12 分）设抛物线24Cyx：的焦点为 F，过 且斜率为 (0)k的直线 l与 C交于 A， B两点， |8
6、（1）求 l的方程；（2）求过点 A， B且与 的准线相切的圆的方程420（12 分）如图，在三棱锥 PABC中， 2， 4PABC， O为 AC的中点（1）证明： O平面 ；（2）若点 M在棱 上，且二面角 M为 30，求 与平面 PM所成角的正弦值PA O CB M21（12 分）已知函数2()exfa（1）若 ，证明：当 0时， ()1fx；（2）若 ()fx在 ,)只有一个零点，求 a（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系 xOy中，曲线 C的参数方程为2cos4in
7、xy，（ 为参数），直线 l的参数方程为1cos2inxty，（ t为参数）（1）求 C和 l的直角坐标方程；（2）若曲线 截直线 l所得线段的中点坐标为 (1,2)，求 l的斜率23选修 45：不等式选讲（10 分）设函数 ()|2|fxax（1）当 a时，求不等式 ()0f的解集；（2）若 ()1f，求 的取值范围5参考答案一、选择题1.D 2.A 3.B 4.B 5.A 6.A7.B 8.C 9.C 10.A 11.C 12.D二、填空题13. 2yx14.9 15. 1216.402三、解答题17. (12 分)解：（1）设 na的公差为 d，由题意得 135ad.由 7得 d=2.所
8、以 n的通项公式为 29n.（2）由（1）得 28(4)16S.所以当 n=4 时, n取得最小值,最小值为16.18.(12 分)解：（1）利用模型,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为30.415926.1y(亿元).利用模型,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 7.(亿元).（2）利用模型得到的预测值更可靠.理由如下：（）从折线图可以看出,2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线 30.415yt上下.这说明利用 2000 年至 2016 年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009 年的环
9、境基础设施投资额有明显增加，2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用 2010年至 2016 年的数据建立的线性模型 917.5yt可以较好地描述 2010 年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠.6（）从计算结果看,相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元,由模型得到的预测值 226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理.说明利用模型得到的预测值更可靠.以上给出了 2 种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19.(12
10、 分)解：（1）由题意得 (1,0)F， l 的方程为 (1)0ykx.设 12(,)AyxB，由 2,4k得 22(4)0kx.2160k，故 12kx.所以 1224|()()kABFx.由题设知248k，解得 k（舍去） ， 1.因此 l 的方程为 1yx.（2）由（1）得 AB 的中点坐标为 (3,2)，所以 AB 的垂直平分线方程为 2(3)yx，即5yx.设所求圆的圆心坐标为 0(,)xy，则0220,(1)(1)6.yx解得 03,2x或 01,6.y因此所求圆的方程为 2(3)()xy或 22()()14x.20.(12 分)解：（1）因为 4APC， O为 AC的中点，所以
11、OPAC，且 23.连结 OB.因为 2，所以 B 为等腰直角三角形，7且 OBAC， 12.由 22P知 POB.由 ,知 平面 AC.（2）如图，以 为坐标原点，ur的方向为 x轴正方向，建立空间直角坐标系 Oxyz.由已知得 (0,)(2,0)(,)(0,2)(,3),(0,23),OBACPAur取平面 PAC的法向量 ur.设 (,2)()Maa，则 (,4)Maur.设平面 PA的法向量为 (,)xyzn.由 0,urrn得 230(4)a，可取 (34),)an，所以 22cos,3()OBr.由已知得 |cos,|2OBur.所以 22|4|=3()a.解得 4a（舍去） ，
12、43a.所以 8,)3n.又 (0,23)PCur，所以 cos,4PCurn.所以 PC与平面 AM所成角的正弦值为 4.21 （12 分）8【解析】 （1）当 a时， ()1fx等价于2(1)e0x设函数2()egx，则2(1)exg 当 时， 0，所以 ()x在 0,)单调递减而 (0)，故当 x时， ，即 (1fx（2）设函数2()1exha()fx在 ,只有一个零点当且仅当 ()hx在 0,)只有一个零点（i）当 0a时， ()x， 没有零点；（ii）当 时， (2)exha当 (,2)x时， ()x；当 ,时， ()0h所以 h在 0单调递减，在 ()单调递增故 24()1ea是
13、()hx在 0,)的最小值若 ()0h，即24， ()在 ,)没有零点；若 (2)，即2ea， ()hx在 0,)只有一个零点；若 ()0h，即24，由于 ()1，所以 ()hx在 0,2有一个零点，由（1）知，当 x时， 2ex，所以33342461610e()()aaa故 ()h在 2,4)a有一个零点，因此 ()h在 0,)有两个零点综上， ()fx在 0,)只有一个零点时，2e4a22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）【解析】 （1）曲线 C的直角坐标方程为2146xy9当 cos0时， l的直角坐标方程为 tan2tayx，当 时， 的直角坐标方程为 1（2）将 l的参数方程代入 C的直角坐标方程，整理得关于 t的方程2(13cos)4(cosin)80tt因为曲线 截直线 l所得线段的中点 (1,2在 C内，所以有两个解，设为 1t， 2，则 120t又由得 122(csi)3ot，故 cosin0，于是直线 l的斜率 tank23选修 4-5：不等式选讲（10 分）【解析】 （1）当 a时，4,1,()26,.xf可得 ()0fx的解集为 |3x（2） 等价于 |2|4而 |2|xa，且当 x时等号成立故 ()1fx等价于 |2|4a由 |4可得 6或 2a，所以 的取值范围是 ,6,)
