1、2018 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 数 学 试 题 文 （ 全 国 卷 3）注 意 事 项 ：1 答 题 前 ， 考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名 、 准 考 证 号 码 填 写 在 答 题 卡 上 .2 回 答 选 择 题 时 ,选 出 每 小 题 答 案 后 ,用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑 .如需 改 动 ,用 橡 皮 擦 干 净 后 ,在 涂 选 其 它 答 案 标 号 .回 答 非 选 择 题 时 ,将 答 案 写 在 答 题 卡 上 ,写 在本 试 卷 上 无 效 。3 考 试 结 束 后 ， 将
2、本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回 。一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求的.）1已知集合 |10Ax ， 12B， ， ，则 AB（ ）A B C 12， D 012， ，2 1i（ ）A 3iB 3iC 3iD 3i3中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（ ）4若 1sin3，则 cos2（ ）A 89B 79C 79D 895若某群体中的成员只用现金支付的概率
3、为 0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15，则不用现金支付的概率为（ ）A0.3 B0.4 C0.6 D0.76函数 2tan1xf的最小正周期为（ ）A 4B 2C D 27下列函数中，其图像与函数 lnyx的图像关于直线 1x对称的是（ ）A ln1yxB 2C lnyxD ln2yx8直线 20xy分别与 x轴， y轴交于 A， B两点，点 P在圆 2xy上，则 ABP面积的取值范围是（ ）A 6， B 48， C 23， D 23，9函数 42yx的图像大致为（ ）10已知双曲线21xyCab：（ 0ab， ）的离心率为 2，则点 40， 到 C的渐近线的距离为（ ）A
4、 2B 2C 32D 211 BC的内角 ， ， C的对边分别为 a， b， c若 AB的面积为224abc，则 C（ ）A 2B 3C 4D 612设 A， B， C， D是同一个半径为 4 的球的球面上四点， ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥 A体积的最大值为（ ）A 12B 183C 243D 543二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13已知向量 =1,2a， ,b， =1,c若 2ca+b，则 _14某公司有大量客户，且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异为了解客户的评价，该公司准备进行抽样调查，可供选择的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样
5、，则最合适的抽样方法是_15若变量 xy， 满足约束条件2304.xy ， ，则 13zxy的最大值是_16已知函数 2ln1fxx， 4fa，则 fa_三、解答题（共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第 1731 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共 60 分。17（12 分）等比数列 na中， 1534a， 求 的通项公式；记 nS为 a的前 n项和若 63mS，求 18（12 分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取 40 名工人，将他
6、们随机分成两组，每组 20 人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；求 40 名工人完成生产任务所需时间的中位数 m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过 的工人数填入下面的列联表：超过 不超过 m第一种生产方式第二种生产方式根据中的列表，能否有 99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附： 22nadbcKd， 20.51.0384682PKk19（12 分）如图，矩形 ABCD所在平面与半圆弧 所在平面垂直， M是 上异于 C， D的点证明：平面 M 平面
7、 ；在线段 上是否存在点 P，使得 MC 平面 PBD？说明理由20（12 分）已知斜率为 k的直线 l与椭圆2143xyC：交于 A， B两点线段 AB的中点为10Mm，证明： 12k；设 F为 C的右焦点， P为 C上一点,且 0FPAB证明: 2FPAB 21（12 分）已知函数 21xafe求由线 y在点 0， 处的切线方程；证明：当 1a 时， 0fxe （二）选考题：共 10 分，请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在平面直角坐标系 xOy中， 的参数方程为 cosinxy（ 为参数），过点 02， 且
8、倾斜角为 的直线 l与 交于 AB， 两点求 的取值范围；求 AB中点 P的轨迹的参数方程23选修 45：不等式选讲（10 分）设函数 21fxx画出 yf的图像；当 0x ， ， fxab ，求 的最小值参 考 答 案一、选择题1答案：C解答： ， ， .故选 C.|10|1Axx0,2B1,2AB2答案：D解答： ，选 D.2()3iii3答案：A解答：根据题意，A 选项符号题意；4答案：B解答： .故选 B.27cos1sin95答案：B解答：由题意 .故选 B.0.45P6答案：C解答：， 的周期2222sintasico1co() sincosin21xxxf xx()f.故选 C.
9、2T7答案：B解答： 关于 对称，则 .故选 B.()fx1()2)ln()fxx8答案：A解答：由直线 得 ， ，圆20xy(,)(0,2)AB2|A的圆心为 ，圆心到直线 的距离为 ，点 到2()x, 0xy21P直线 的距离的取值范围为 ，即 ，20xy22d23d. 1|,6ABPSd9答案：D解答：当 时， ，可以排除 A、B 选项；0x2y又因为 ，则 的解集为324()xx()0fx， 单调递增区间为 ， ； 的解集为2(,)(0,)U(f(,)2(,)(fx， 单调递减区间为 ， .结合图象，可知 D 选项正(,)(,)(fx2(,0)(,)确.10答案：D解答：由题意 ，则
10、，故渐近线方程为 ，则点 到渐近线的距离为2cea1b0xy(4,).故选 D.|40|2d11答案：C解答：，又 ，故 ，22cos1cs42ABCabaCSb1sin2ABCSabta1C.故选 C.412答案：B解答：如图， 为等边三角形，点 为 ， ， ， 外接球的球心， 为 的重心，ACOABCDGABC由 ，得 ，取 的中点 ， ，93ABCS6Hsin603，球心 到面 的距离为 ，三棱锥2GH224()d体积最大值 .D193(2)183DABCV二、填空题13答案： 12解答：， ， ，解得 .(4,)ab/()cab12401214答案：分层抽样解答：由题意，不同龄段客户对
11、其服务的评价有较大差异，故采取分层抽样法.15答案： 3解答：由图可知在直线 和 的交点 处取得最大值，故 .240xy2x(,3)123z16答案： 2解答： ，2ln1()fxxR，2()(1ln)1x2ln()x ， .)2fa)fa三、解答题17答案：（1） 或 ；（2） .12na1()n6解答：（1）设数列 的公比为 ， ， .nq534a2q 或 .12na1(2)（2）由（1）知， 或 ，nnS1(2)1(2)3nnnS 或 （舍），63mS1(2)63mm .18 解答：（1）第一种生产方式的平均数为 ，第二种生产方式平均数为 ，184x274.x，所以第一种生产方式完成任务
12、的平均时间大于第二种，第二种生产方式的效率2x更高.（2）由茎叶图数据得到 ，列联表为80m（3） ，有2 22()40(15)106.35()(nadbcKd 9%的把握认为两种生产方式的效率有差异.19 解答：（1）正方形 半圆面 ，ABCDM 半圆面 ， 平面 .AD 在平面 内， ，又 是半圆弧 上异于 的点，CMCD,.又 ， 平面 ， 在平面 内，平面I ABM平面 .BA（2）线段 上存在点 且 为 中点，证明如下：PM连接 交于点 ，连接 ；在矩形 中， 是 中点， 是,BDACO,PDBABCDOAP的中点；M ， 在平面 内， 不在平面 内， 平面 ./PMP/MDB20
13、解答：（1）设直线 方程为 ，设 , ,lykxt1()Axy2()B联立消 得 ，243ykxt22(43)840kt则 ，2226(1)(0ktt得 ，且 ， ，122834txk121226()34tykxmk ， 且 .0m0且 .2tk由得 ，22(34)416k 或 .1k ， .02（2） ， ,0FPABurr0FPMurr ， ， 的坐标为 .(1,)Mm(,)(12)m由于 在椭圆上， ， ， ，214334(1,)2又 ， ，2143xy2xy两式相减可得 ，121234yxxy又 ， ， ，1212k直线 方程为 ，l3()4yx即 ，7x ，2413yx消去 得 ，
14、，y28560x1,2431，2211|()()FAByxyur,223| 0P .|FP21 解答：（1）由题意： 得21xafe，22(2)()x xaefx ，即曲线 在点 处的切线斜率为 ， ，(01f yf0,12(1)20)yx即 ；2xy（2）证明：由题意：原不等式等价于： 恒成立；令120xea，12()xgea ， ， ， 恒成立， 在1()x1()2xge1()gx()gx上单调递增， 在 上存在唯一 使 ，(,0x0 ，即 ，且 在 上单调递减，在 上单调0102xea010xea()g,)0(,)x递增， .()g又 ，012200001()2(1)2xexaxx， ，
15、 ， ， ，得证.1()age10ae01xa0()gx综上所述：当 时， .fx22 解答：（1） 的参数方程为 ， 的普通方程为 ，当 时，直OecosinxyOe21xy90线： 与 有两个交点，当 时，设直线 的方程为 ，由直线 与:0lx90ltan2l有两个交点有 ，得 ， 或 ，e2|1tan2tan1tan1t或 ，综上 .459035(45,3)（2）点 坐标为 ，当 时，点 坐标为 ，当 时，设直线 的方P(,)xy90P(0,)90l程为 ， ， 有 ，整理得ykx12,AB21xyk 22()1xk， ， ， 得2(1)0kxk122xk122yk21ky 代入 得 .当点 时满足方程 ， 中点的ky2xy(0,)P20xAB的轨迹方程是 ，即 ，由图可知， ，P2221()xy2(,)，则 ，故点 的参数方程为 （ 为参数，(,)2B02yPcos2inxy）.023 解答：（1） ，如下图：13,2(),1xf（2）由（1）中可得： ， ，3a2b当 ， 时， 取最小值，3a2b 的最小值为 .5
