1、第4章刚体定轴转动 4 1转动方程 角速度和线速度4 2功率 转速与转矩间的关系小结 4 1转动方程 角速度和线速度 刚体的运动形式很多 在机械中常见的有平动 绕固定轴转动和平面运动以曲柄连杆机构为例 如图4 1所示 当曲柄为主动件时 曲柄OA绕轴O转动 通过连杆AB带动滑块作往复直线运动这种机构的构件就包含上述三种运动形式 滑块B作平动 曲柄OA绕固定轴转动 连杆是在一个固定的平面内作复杂的运动 称为平面运动由于刚体的任何复杂运动都可以分解为平动和转动 所以平动和绕定轴转动是刚体运动的基本形式本章只研究刚体绕定轴转动 4 1转动方程 角速度和线速度 4 1 1转动方程在机械工程中 常见到很多
2、刚体绕定轴转动的实例 他们均在轴承的约束下 绕一条固定的轴线转动具有一个共同的特点 刚体转动时 刚体 或其延仲部分 有一条直线始终保持不动 其余各点都绕此直线作圆周运动这种运动称为刚体绕固定轴转动 简称转动固定不动的直线称为转动轴为了确定刚体任一瞬时在空间的位置 如图4 2所示过刚体转轴作平面I和平面II 平面I与固定参考体保持不动 平面II联结在刚体上与刚体一起绕定轴转动 两平面之间夹角称为转角显然刚体在空间的位置 可由转角来确定 对应一个转角 刚体便有一个确定的位置刚体转动时 转角随时间而变化 是时间t的单值连续函数 即式 4 1 称为刚体绕定轴转动的转动方程 它反映了刚体的转动规律 转角
3、的单位用弧度 rad 表示 规定从转轴的正向朝负向看去 逆时针转动时 角为正 顺时针转动时 角为负 4 1转动方程 角速度和线速度 4 1 2角速度和线速度角速度是表示刚体转动快慢和转动方向的物理量设在瞬时t 刚体的转角为在瞬时t 刚体的转角为 如图4 3所示则在t t t时间内 刚体转过了角 则比值的极值称为刚体在t瞬时的瞬时角速度 简称角速度 以表示 有式 4 2 表明 刚体的角速度等于转角对时间的一阶导数角速度的正负号表示刚体的转动方向当 0时 n 4 1转动方程 角速度和线速度 刚体往转角的正向转动 即逆时针转动 当 o时 n 刚体往转角的负向转动 即顺时针转动角速度的单位为弧度 秒
4、rad s 或简写为1 秒 1 s 工程上常用转速n表示转动的快慢 转速n的单位为转 r min n与之间的关系为物理学中曾学过 绕定轴转动刚体内任意一点速度的大小 等于角速度与该点转动半径的乘积 其方向与转动半径垂直 并与刚体转向一致 如图4 4所示由于速度方向沿圆周切线 所以又称为线速度或圆周速度线速度v与角速度的关系为 4 1转动方程 角速度和线速度 式中 r为转动半径在工程中 一般知道轮子的转速n和直径d 则将式 4 3 及r d 2代人式 4 4 得轮缘上一点的线速度为式中d的单位为m n的单位为r min 由于转动刚体上各点速度的大小都与转动半径成正比 规律呈如图4 5所示的三角形
5、分布 即线性分布 4 1转动方程 角速度和线速度 例4 1用圆盘铣刀铣削工件 设铣刀直径d 120mm 所以在转动半径上各点速度分布机床主轴转速n 80r min 试求切削速度如果要保持这一切削速度 而选用直径d 190mm的铣刀 试选用机床主轴转速解 根据公式 4 5 可求得铣削速度如果保持这一线速度 而换一直径d 190mm的铣刀 则机床主轴转速应选择 4 1转动方程 角速度和线速度 例4 2皮带轮B由皮带轮几带动 其半径分别r1 0 25m r2 0 75m 假设两带轮与皮带间不发生相对滑动 如图4 6所示当带轮A转速n1 300r min时 试求带轮B的转速 的大小和方向解 根据题意
6、两带轮通过皮带传递动力 因传动带上各点速度大小相等 即v1 v2 得 由此可得两轮角速度大小之比 通常称为传动比 用符号i12表示 为又得 4 1转动方程 角速度和线速度 所以由图4 6可见 两轮的转动方向相同由此题可以看出 一对带轮的传动比等于从动轮半径 或直径 与主动轮半径 或自径 的比 即半径较大的轮子其转速 或角速度 较小 这种现象经常看到上面的分析方法同样适用于齿轮 摩擦轮 链轮的传动图4 7所示为一对齿轮传动因在同一时间间隔内两个齿轮通过啮合点处的齿数相等设主动齿轮有z1个齿 转速为n1 从动齿轮有z2个齿 转速为n2 则 4 1转动方程 角速度和线速度 所以即两齿轮啮合传动时 转
7、速与齿数成反比 对于外啮合齿轮n1与n2的转向是相反的 4 2功率 转速与转矩间的关系 4 2 1功率力在单位时间内所做的功称为功率 用符号P表示根据物理学知 不变力的功率等于力F在其作用点速度v的乘积 设力F与速度方向一致 即对于转动的刚体 如在其上某点A作用一个切向力F 则几点的线速度v r 如图4 8所示则式中 M Fr 为力F对刚体转轴O点之矩 即转矩的功率等于力对转动轴之矩与刚体的角速度的乘积功率的单位为瓦特 符号为w 1W 1J s 1N m s 工程中常用kW 千瓦 作为功率的单位 1kw 1000W 4 2功率 转速与转矩间的关系 4 2 2功率 转矩和转速之间的关系在机械传动
8、中常要根据给定的功率和转速来计算转矩的大小将式 4 3 代入式 4 6 则可导出转动物体的功率P kW 转速n r min 与转矩M N m 的关系为式中 P的单位为kW M的单位为N m n的单位为r min 则有 4 2功率 转速与转矩间的关系 由以上各式可见 当功率P一定时 F与v成反比 或M与成反比 例如汽车上坡时需要较大的驱动力矩M或较大的牵引力 驾驶员就用低速挡 使汽车的速度减小 以便在一定功率的情况下产生较大的牵引力例4 3一台10kW的电动机 转速n 1500r min 求它在额定功率时输出的转矩解 将功率P和转速n的数据代入式 4 8 例4 4车床刀削工件的切削力F 2000
9、N 工件的转速n 150r min 工件的直径d 100mm 如图4 9所示 求此时主轴所需的 4 2功率 转速与转矩间的关系 功率 解 切削F的方向如图4 9所示 切削力F对主轴中心的转矩为将M和n代入式 4 7 得 小结 1 刚体内有一条直线始终保持不动 其余各点都绕此直线作圆周运动 这种运动称为刚体的定轴转动 2 刚体转动的快慢用角速度或转速表示 二者的关系是 3 转动刚体上任意一点速度等于该刚体角速度与该点转动半径的乘积 速度方向沿圆周切线方向刚体定轴转动时 刚体上各点速度与该点转动半径成正比轮缘上的一点线速度 4 刚体转动时 表示转矩 功率 转速三者间关系的公式很重要 在机械传动中经常用到 即 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回 返回
