1、第四章刚体的定轴转动 4 1转动方程 角速度和线速度 刚体运动时 如体内 或体外 有一条直线始终保持不动 这种运动称为刚体的定轴转动 简称转动 该固定不动的直线称为转轴 刚体转动时 体内不在转动轴上的各点都在垂直于转动轴的平面内做圆周运动 它们的圆心全在转轴上 1定轴转动刚体的运动规律 转动方程 设有一刚体T绕固定轴oz转动 如图所示 首先确定刚体在任一瞬时的位置 通过固定轴oz作两平面P和Q 平面P固结在刚体上 随同刚体一起转动 平面Q为固定平面 固结在参考体上 刚体上各点相对于平面P的位置是一定的 因此 只要知道平面P的位置就确定了刚体上各点的位置 在任一瞬时 平面P的位置可由它与平面Q的
2、夹角 来确定 夹角 称为位置角 转角 以弧度 rad 表示 位置角是一个代数量 其正负号规定如下 从z轴的正向向负向看去 按逆时针转向 取为正 反之为负 t 这就是刚体的转动方程 当刚体转动时 转角 是时间t的单值连续函数 可表示为 为了描述刚体转动的快慢程度 引入了角速度的概念 转角 随时间t的变化率称为角速度 设在 t时间间隔内 转角的改变量为 则刚体在 t时间内的平均角速度为 当 t 0时 的极限为刚体在瞬时t的角速度 以 表示 则 2角速度和线速度 即刚体的角速度等于转角对时间的一阶导数 角速度是代数量 当 0时 转角 随时间增加而增大 反之转角 随时间而减小 角速度的正负表示了刚体转
3、动的转向 角速度的单位是弧度 秒 rad s 工程上常用每分钟内的转数 r min 表示即用转速n表示转动的快慢 它们之间的关系为 物理中讲过 绕定轴转动刚体内任意一点速度的大小 等于角速度与该点转动半径的乘积 其方向与转动半径垂直 并与刚体转向一致 线速度与角速度的关系为 因此有 两种常用传动 齿轮传动 啮合条件 传动比 主动轮与从动轮角速度之比称为传动比 处于的啮合中两个定轴齿轮的角速度与两齿轮的齿数成反比 带轮传动 两轮的角速度与其半径成反比 例4 1齿轮A B为两个互相啮合的齿轮 两轮节圆半径分别为R1 R2 齿数为Z1 Z2 如图所示 若已知主动轮A的转速为n1 试求从动轮B的角速度
4、 解 在齿轮传动中 因齿轮互相啮合 两齿轮在接触点M处无相对滑动 并具有相同的速度v 因而有 由此 得 通常主动轮的角速度 转速 与从动轮的角速度 转速 之比 1 2 或n1 n2 称为传动比 以i12表示 则有 上式表明 互相啮合的两个齿轮的角速度 或转速 与其半径成反比 此结论同样适用于锥齿轮传动和皮带传动 由于齿轮A B的齿数分别为Z1 Z2 而能够互相啮合的两个齿轮的齿数与它们的节圆周长2 R1 2 R2成正比 所以有 于是 可见 互相啮合的两个齿轮的角速度 或转速 与其齿数成反比 4 2功率转速与转矩间的关系 1功率 力在单位时间内所做的功 称为功率 用P表示 单位瓦特 W 常用KW 不变力的功率 如图 对于转动的刚体 其中 力F对O点的矩 2功率 转矩和转速之间关系 则有 式中 P的单位为KW M的单位为了 n的单位为
