1、1第 7 章 机械能守恒定律章末总结一、功和功率的计算1功的计算方法(1)定义法求功。(2)利用动能定理或功能关系求功。(3)利用 W Pt 求功。2功率的计算方法(1)P ：此式是功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算，但常用于求解某段时间内Wt的平均功率。(2)P Fvcos ：当 v 是瞬时速度时，此式计算的是 F 的瞬时功率；当 v 是平均速度时，此式计算的是 F 的平均功率。例 1 质量为 m20 kg 的物体，在大小恒定的水平外力 F 的作用下，沿水平面做直线运动。02 s 内 F 与运动方向相反，24 s 内 F 与运动方向相同，物体的 v-t 图象如图 12所示， g 取 1
2、0 m/s2，则( )图 1A拉力 F 的大小为 100 NB物体在 4 s 时拉力的瞬时功率为 120 WC4 s 内拉力所做的功为 480 JD4 s 内物体克服摩擦力做的功为 320 J解析 由图象可得：02 s 内物体做匀减速直线运动，加速度大小为 a1 v t 102m/s25 m/s2，匀减速过程有 F Ff ma1 。匀加速过程加速度大小为 a2 v t 22m/s21 m/s2，有 F Ff ma2 ，由联立解得 Ff40 N， F60 N，故 A 错误；物体在 4 s 时拉力的瞬时功率为 P Fv602 W120 W，故 B 正确；4 s 内物体通过的位移为x 210 m 2
3、2 m8 m，拉力做功为 W Fx 480 J，故 C 错误；4 s 内物体12 12通过的路程为 s 210 m 22 m12 m，摩擦力做功为 Wf Ff s4012 12 12J480 J，故 D 错误。答案 B针对训练 1 (多选)如图 2 所示，一质量为 1.2 kg 的物体从一固定的倾角为 30、长度为 10 m 的光滑斜面顶端由静止开始下滑。 g 取 10 m/s2，则( )图 2A物体滑到斜面底端时重力做功的瞬时功率是 60 WB物体滑到斜面底端时重力做功的瞬时功率是 120 WC整个过程中重力做功的平均功率是 30 WD整个过程中重力做功的平均功率是 60 W3解析 由动能定
4、理得 mglsin 30 mv2，所以物体滑到斜面底端时的速度为 10 m/s，此12时重力做功的瞬时功率为 P mgvsin 301.21010 W60 W，故 A 正确，B 错误；12物体下滑时做匀加速直线运动，其受力情况如图所示。由牛顿第二定律得物体的加速度a 10 m/s25 m/s2，物体下滑的时间 t s2 s。物体下滑过程mgsin 30m 12 va 105中重力做的功为 W mglsin 301.21010 J60 J。重力做功的平均功率12P W30 W。故 C 正确，D 错误。Wt 602答案 AC二、功能关系的应用功是能量转化的量度，某种能量的转移和转化的数量一定与某种
5、力的功相等，与其他力的功无关，所以处理好功能关系题目的关键是记清常用的几对功能关系。(1)重力做功与重力势能的关系： WG Ep。(2)弹簧弹力做功与弹性势能的关系： W 弹 Ep。(3)合力做功与动能关系： W 合 Ek。(4)除重力或弹力外其他力做功与机械能的关系： W 其他 E。例 2 质量为 m 的跳水运动员入水后受到水的阻力而竖直向下做减速运动，设水对他的阻力大小恒为 F。那么在他减速下降到深度为 h 的过程中，下列说法正确的是( g 为当地的重力加速度)( )A他的动能减少了 FhB他的重力势能减少了 mghC他的动能减少了( F mg)hD他的机械能减少了 Fh解析 跳水运动员入
6、水减速下降 h 的过程中，他的重力势能减少了 mgh，则 B 选项正确；由动能定理知，动能减少了( F mg)h，则 C 选项正确，A 错误；重力以外的力做的功等于机械能的变化，则 D 选项正确。答案 BCD针对训练 2 如图 3，一质量为 m、长度为 l 的均匀柔软细绳 PQ 竖直悬挂。用外力将绳的4下端 Q 缓慢地竖直向上拉起至 M 点， M 点与绳的上端 P 相距 l。重力加速度大小为 g。在13此过程中，外力做的功为( )图 3A. mgl B. mgl 19 16C. mgl D. mgl13 12解析 由题意可知， PM 段细绳的机械能不变， MQ 段细绳的重心升高了 ，则重力势能
7、增加l6 Ep mg mgl，由功能关系可知，在此过程中，外力做的功为 W mgl ，故选项 A23 l6 19 19正确，B、C、 D 错误。答案 A三、动力学方法和能量观点的综合应用1动力学方法：利用牛顿运动定律结合运动学规律求解力学问题。2能量的观点：利用动能定理、机械能守恒定律、能量守恒定律以及一些功能关系求解力学问题。3应用技巧涉及动力学方法和能量观点的综合题，应根据题目要求灵活选用公式和规律。(1)涉及力和运动的瞬时性分析或恒力作用下物体做匀变速直线运动的问题时，可用牛顿运动定律。(2)用动能定理求解物体受恒力作用下的问题比用牛顿运动定律求解过程要简单，变力作用下的问题只能用能量观
8、点。(3)涉及动能与势能的相互转化，单个物体或系统机械能守恒问题时，通常选用机械能守恒定律。例 3 如图 4 所示，遥控电动赛车(可视为质点)从 A 点由静止出发，经过时间 t 后关闭电动机，赛车继续前进至 B 点后进入固定在竖直平面内的圆形光滑轨道，通过轨道最高点 P后又进入水平轨道 CD 上。已知赛车在水平轨道 AB 部分和 CD 部分运动时受到的阻力恒为车5重的 0.5 倍，即 k 0.5，赛车的质量 m0.4 kg，通电后赛车的电动机以额定功率FfmgP2 W 工作，轨道 AB 的长度 L2 m，圆形轨道的半径 R0.5 m，空气阻力可以忽略，取重力加速度 g10 m/s2。某次比赛，
9、要求赛车在运动过程上既不能脱离轨道，又要在 CD轨道上运动的路程最短。在此条件下，求：图 4(1)赛车在 CD 轨道上运动的最短路程；(2)赛车电动机工作的时间。解析 (1)要求赛车在运动过程中既不能脱离轨道，又要在 CD 轨道上运动的路程最短，则赛车经过圆轨道 P 点时速度最小，此时赛车对轨道的压力为零，重力提供向心力： mg m。赛车在 C 点的速度为 vC，由机械能守恒定律可得：mg2R mv mv12 2P 12 2C由上述两式联立，代入数据可得： vC5 m/s设赛车在 CD 轨道上运动的最短路程为 x，由动能定理可得： kmgx0 mv12 2C代入数据可得： x2.5 m(2)由
10、于竖直圆轨道光滑，由机械能守恒定律可知：vB vC5 m/s，从 A 点到 B 点的运动过程中，由能量守恒定律可得：Pt kmgL mv12 2B代入数据可得： t4.5 s。答案 (1)2.5 m (2)4.5 s针对训练 3 如图 5 所示，半径为 R 的竖直光滑半圆形轨道 BC 与光滑水平地面 AB 相切于B 点，弹簧左端固定在竖直墙壁上，用一质量为 m 的小球紧靠弹簧并向左压缩弹簧，已知弹簧在弹性限度内，现由静止开始释放小球，小球恰好能沿轨道通过半圆形轨道的最高点C，求：6图 5(1)释放小球瞬间弹簧的弹性势能；(2)小球离开 C 点后第一次落地点与 B 点的距离。解析 (1)小球恰好能通过最高点 C，设通过 C 点的速度为 vC，则：mg m ，得 vC gR小球从 A 到 C 的过程中，设所求弹簧的弹性势能为 Ep，由机械能守恒定律可得：Ep mv mg2R12 2C解得 Ep mgR52(2)小球从 C 点抛出后做平抛运动，设小球的落地点与 B 的水平距离为 s，则 2R gt212s vCt联立解得 s2 R。答案 (1) mgR (2)2 R52
