1、第二节 频率域稳定判据,第五章 线性系统的频域分析法,教 学 重 点,使用Nyquist图和Bode图判别系统的稳定性。,教 学 难 点,5-2 频率域稳定判据,从控制论角度来理解幅角定理。,一、Nyquist判据的数学基础幅角定理,设复变函数,对s平面上的每一个点s(复数)，在F平面上必有一点通过映射关系F(s)与之对应。,对s平面上的任一个不通过极点的封闭曲线C，在F平面上必有一连续封闭曲线通过映射关系F(s)与之对应。,幅角定理：设s平面闭合曲线C包围F(s)的Z个零点和P个极点，则s沿C顺时针运动一周时，F平面内的闭合曲线绕原点运动的圈数为：,R=Z-P,说明：当R0时，曲线顺时针包围
2、原点；当R0时，曲线逆时针包围原点；当R=0时，曲线不包围原点。,证明：,设曲线C内包含一个零点z1,S沿曲线C顺时针旋转一周，各向量的幅角变化情况为,绕原点的圈数为-1(顺时针1圈)。,由复数运算，知,同理可知：当曲线C内包含一个极点p时，若S沿C顺时针旋转一周，F平面内绕原点的圈数为1圈(逆时针)。,所以，当C内包含z个零点和p个极点时， 若S沿曲线C顺时针旋转一周，曲线顺时针绕原点的圈数：,若R=-P，即F平面内曲线逆时针绕原点的圈数等于F(s)的极点被曲线C包围的个数，则C内没有包含F(s)的零点。,由幅角定理推导出的重要结论：,R=Z-P,1. 复变函数F(s)的选择,二、从控制论角
3、度来理解幅角定理,判断系统是否稳定要看闭环特征方程的特征根在s平面上的分布情况，所以初步选择 为研究对象。,F(s)的极点=开环传函的极点(容易得到) F(s)的零点=闭环传函的极点(不易得到，是研究的对象),系统稳定s平面的右半平面没有(s)的极点s平面的右半平面没有F(s)的零点,选择曲线C顺时针包围s的右半平面，由幅角定理推导出的结论，知：若R=-P，即F平面内曲线绕原点的逆时针圈数等于F(s)的在右半平面的极点数，则s右半平面内没有包含F(s)的零点，系统稳定。,F(s)的极点=开环传函的极点(容易得到) F(s)的零点=闭环传函的极点(不易得到),GF在F平面包围坐标原点的圈数=GG
4、H在GH平面上包围(-1,j0)点的圈数。,对于开环传函G(s)H(s)，选择合适的封闭曲线C顺时针包围s的右半平面，如果GGH在GH平面逆时针包围(-1,j0)点的圈数R等于G(s)H(s)的在s平面右半平面极点数P，则闭环系统稳定。,GH平面：将F平面右移一个单位，可得一个新的平面，称之为GH平面。由F(s)=1+G(s)H(s)知： F平面的原点就是GH平面的(-1,0)点。,最终结论：,2. S平面内闭合曲线C的选择,奈氏围线：顺时针包围整个s右半平面的封闭曲线。选奈氏围线为C即可。,由于C不能通过F(s)=G(s)H(s)的极点，分两种情况讨论。,G(s)H(s)无虚轴上的极点奈氏围
5、线由两部分组成，C1：半径为的右半圆s=Rejq(R，-900q+900) ；C2： s平面的整个虚轴s=j(-+)。,G(s)H(s)有虚轴上的极点 奈氏围线在第一种情况的基础上加上开环虚轴极点：,开环系统含有积分环节对应的极点0 在原点附近，取s=eejq(e0+, -900q+900)(修正围线C3),s,开环系统含有等幅振荡环节对应的极点 在 附近，取 (e0+, -900q+900) (修正围线C4、 C5),C=C1+C2+C4+C5,s,讨论在s平面当s沿奈氏围线C运动时通过复变函数G(s)H(s)映射到GH平面上曲线GGH的情况。,3. GH平面闭合曲线GGH的绘制,G(s)H
6、(s)无虚轴上的极点(=0，0型系统),当s沿C1顺时针移动时，在GH平面上的映射为,m=n时，上式= ，nm时，上式=0。,说明C1 为GGH为一个点，对系统的稳定性研究没有意义。,当s沿C2顺时针移动时，在GH平面上的映射, s=j(0+)：正虚轴，对应GH平面上的开环幅相曲线GGH1 。 s=j(-0)：负虚轴，在GH平面中的映射曲线GGH2与开环幅相曲线GGH1关于实轴对称。,n-m=2时C和的GGH对应关系,GGH1,GGH2,C2,C1,C2,C1,n=m时C和的GGH对应关系,GGH1,GGH2,s,s,GH,GH,修正围线C3在GH平面上的映射为, G(s)H(s)含有积分环节
7、,s,G(s)H(s)有虚轴上的极点,C2,C1,R=,C3,修正围线C3映射到GH平面上的曲线是半径为的圆弧，且起始于G(j0-)H(j0-)，终止于G(j0+)H(j0+)，并顺时针旋转角度np(q逆时针旋转p(-900+900)。,n=1，n-m=3时C和的GGH的对应关系,GGH,s,GH,G(s)H(s)含有等幅振荡环节,C=C1+C2+C4+C5,修正围线C4和C5映射到GH平面上的曲线都是半径为，圆心角等于np的圆弧，且起始于G(jwn-)H(jwn-)，终止于G(jwn+)H(jwn+) 。,s,4、GGH包围(-1,j0)圈数的计算,环绕计算法：奈氏曲线包围(-1,j0)的圈
8、数(逆时针为正，顺时针为负)； 穿越计算法：奈氏曲线穿越负实轴(-，-1)段的次数，由上至下为正穿越N+，由下至上为负穿越N-。,R=N+N-,以上计算是在全闭合奈氏曲线(-+)下进行的，如果是半闭合奈氏曲线(0+) ，则以上结果应乘以2。,注意：,三、奈氏判据,设奈氏曲线逆时针围绕(-1,j0)点的圈数为R，如果,Z=R-P=0,则闭环系统稳定，否则系统闭环不稳定。,P开环不稳定极点数(开环传函位于s右半平面的 极点数),Z开环不稳定零点数(开环传函位于s右半平面的 零点数),用奈氏稳定判据判断系统的稳定性,例 一个系统的开环传递函数为,系统稳定,例 系统开环传递函数为,系统不稳定,没有极点
9、位于右半s平面，P=0。,例 系统开环传递函数为,没有极点位于右半s平面，P=0。,四、一种简易的奈氏判据（1）正、负穿越的概念G(j)H(j)曲线对称实轴。应用中只画 部分。 所谓“穿越”是指 轨迹穿过 段。 正穿越：从上而下穿过该段一次（相角增加），用 表示。 负穿越：由下而上穿过该段一次（相角减少），用 表示。正穿越 负穿越,若G(j)H(j)轨迹起始或终止于 (-1, j0)以左的负轴上，则穿越次数为半次，且同样有+ 1/2 次穿越和-1/2次穿越。,如果G(j)H(j)按逆时针方向铙(-1, j0) 一周，则必正穿越一次。反之，若按顺时针方向包围点(-1, j0) 一周，则必负穿越一
10、次。这种正负穿越之和即为G(j)H(j)包围的圈数。故奈氏判据又可表述为：闭环系统稳定的充要条件是：当 由0变化到 时，G(j)H(j)曲线在（-1，j0）点以左的负实轴上的正负穿越之和为 P/2 圈。P为开环传递函数在s右半平面的极点数。此时 Z=P-2N若开环传递函数无极点分布在S右半平面，即 ，则闭环系统稳定的充要条件应该是N =0：注意：这里对应的变化范围是 。,例: 某系统G(j)H(j)轨迹如下，已知有2个开环极点分 布在s的右半平面，试判别系统的稳定性。解：系统有2个开环极点分布在s的右半平面（P=2）， G(j)H(j)轨迹在点(-1, j0)以左的负实轴有2次正穿越，1次负
11、穿越，因为：N= , 求得：Z=P-2N=2-2=0 所以系统是稳定系统。 .,例: 两系统取一半奈氏曲线，试分析系统稳定性。解: (a) : N= N+ - N =（0-1）= -1，且已知P =0，所以Z=P-2N=2 系统不稳定。(b) ：K1时，N= N+ - N - =1-1/2= 1/2，且已知P=1，所以Z= P-2N=0，闭环系统稳定；K1时， N = N+ - N - =0-1/2= -1/2，且已知P =1，所以Z= P-2N=2，闭环系统不稳定；K=1时，奈氏曲线穿过 (-1,j0) 点两次，说明有两个根在虚轴上，所以系统不稳定。,奈氏判据：闭环系统稳定的充要条件是：s沿
12、着奈氏 路径绕一圈，G(j)H(j)曲线逆时针绕（-1，j0） 点P圈。Z=PRP 为G(s)H(s)位于s右半平面的极点数；R G(j)H(j)曲线逆时针绕（-1，j0）点圈数；Z 闭环系统位于s右半平面的极点数。闭环系统稳定的充要条件是：当 由0变化到 时，G(j)H(j)曲线在（-1，j0）点以左的负实轴上的正负穿越之和为 P/2 圈。,六、伯德图上的奈氏判据极坐标图 伯德图单位圆 0db线（幅频特性图）单位圆以内区域 0db线以下区域单位圆以外区域 0db线以上区域负实轴 -1800线（相频特性图）因此，奈氏曲线自上而下（或自下而上）地穿越（-1，j0）点左边的负实轴，相当
13、于在伯德图中当L()0db时相频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180°线。,参照极坐标中奈氏判据的定义，对数坐标下的奈 判据可表述如下：闭环系统稳定的充要条件是：当 由0变到 时，在开环对数幅频特性 的频段内，相频特性 在 线上穿越的次数（正穿越 与负穿越 次数之差）为 。P为开环传递函数在s右半平面的极点数。若开环传递函数无极点分布在S右半平面即 ， 则闭环系统稳定的充要条件是：在 的频段内， 相频特性 在 -线上正负穿越次数代数和为零。或者不穿越 线 。,例：某系统有两个开环极点在S右半平面（P=2）N+- N-=1-2= -1 不等于P/2（=1）所以，系统不稳定。,小 结,掌握使用Nyquist图和Bode图判别系统的稳定性的方法。,Z=R-P=0时系统稳定。,P开环不稳定极点数(开环传函位于s右半平面的 极点数) R 奈氏曲线围绕(-1,j0)点的圈数,
