1、圆有关性质1.圆的周长 C=2r=d 2.圆的面积 S=r2 3.扇形弧长 l=nr/180 4.扇形面积 S=nr2/360=rl/2 5.圆锥侧面积 S=rl 圆的定义 几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。 轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。圆的相关量 圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406
2、2862089986280348253421170679.，通常用 表示，计算中常取 3.14为它的近似值(但奥数常取 3或3.1416)。圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。 内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一
3、个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。圆和圆的相关量字母表示方法圆 半径r 弧 直径d 扇形弧长圆锥母线l 周长C 面积S 圆和其他图形的位置关系 圆和点的位置关系：以点 P与圆 O的为例（设 P是一点，则 PO是点到圆心的距离） ，P 在O 外，POr；P 在O 上，POr；P 在O内，POr。 直线与圆有 3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线 AB与圆 O为例（设 OPAB 于 P，则 PO是 AB到圆心的距离）：AB与O 相离，POr；AB 与O 相切，POr；AB 与O 相交，POr。两圆之
4、间有 5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为 R和 r，且 Rr，圆心距为 P：外离 PR+r；外切 P=R+r；相交 R-rPR+r；内切 P=R-r；内含 PR-r。【圆的平面几何性质和定理】一有关圆的基本性质与定理 圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。 圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 2条弧。逆定理：平分弦（不是
5、直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 直径所对的圆周角是直角。90 度的圆周角所对的弦是直径。 有关外接圆和内切圆的性质和定理 一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。S 三角=1/2*三角形周长*内切圆半径两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的线段）有
6、关切线的性质和定理 圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。 切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。【圆的解析几何性质和定理】圆的解析几何方程 圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点 O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）2+（y-b）2=r2。 圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同
7、类项后，可得圆的一般方程是 x2+y2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比，其实 D=-2a，E=-2b，F=a2+b2。圆的离心率 e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是 r。圆与直线的位置关系判断 平面内，直线 Ax+By+C=0与圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由 Ax+By+C=0，可得 y=（-C-Ax）B， （其中 B不等于 0） ，代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于 x的一元二次方程 f（x）=0。利用判别式 b2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b2-4ac0，则圆与直线有 2交点，即圆与直线相交。如果 b2-4ac=
8、0，则圆与直线有 1交点，即圆与直线相切。如果 b2-4acx2 时，直线与圆相离；当 x1x=-CAx2时，直线与圆相交；101圆是定点的距离等于定长的点的集合 102圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104同圆或等圆的半径相等 105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半 径的圆 106和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直 平分线 107到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线 108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距 离相等的一条直线 109定理 不在
9、同一直线上的三点确定一个圆。 110垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111推论 1 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 112推论 2 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦 相等，所对的弦的弦心距相等 115推论 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两 弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 116定理 一条弧所
10、对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117推论 1 同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等 118推论 2 半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所 对的弦是直径 119推论 3 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 120定理 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它 的内对角 121直线 L和O 相交 dr 直线 L和O 相切 d=r 直线 L和O 相离 dr 122切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 124推论 1 经过
11、圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等， 圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 127圆的外切四边形的两组对边的和相等 128弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129推论 如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等 130相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等 131推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的 两条线段的比例中项 132切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割 线与圆交点的两条线段长的比例中项 133推论 从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等 134如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上 135两圆外离 dR+r 两圆外切 d=R+r 两圆相交 R-rdR+r(Rr) 两圆内切 d=R-r(Rr) 两圆内含 dR-r(Rr) 136定理 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137定理 把圆分成 n(n3): 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n边形 经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 n边形 138定理 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。
