1、第六章 弯曲应力,CL8TU1,纯弯曲：,横力弯曲：,§6-1纯弯曲时梁横截面上的正应力,一. 纯弯曲：,在横截面上，只有法向内力元素dN=dA才能合成弯矩M，只有切向内力元素dQ=dA才能合成剪力Q,CL8TU2,CL8TU3,三个方面:,变形几何关系,物理关系,静力学关系,二.平面截假设,1.实验,观察到以下变形现象:,(1)aa、bb弯成弧线，aa缩短，bb伸长 (2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为弧线的aa，bb正交； (3)部分纵向线段缩短，另一部分纵向线段伸长。,2.平面假设：,梁各个横截面变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，横截面绕某一轴旋转了一个角度
2、。,3.单向受力假设：,假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。,梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵向纤维层称为中性层.,中性轴,中性层,CL8TU3-1,中性层与横截面的交线称为中性轴,CL8TU3-2,三.几何方程,四. 物理关系,一点的正应力与它到中性层的距离成正比。,五.静力平衡方程,设中性轴为z,截面的惯性积（ y为对称轴）,截面对z轴的惯性矩,中性层的曲率公式,2.横截面上的最大正应力,当中性轴是横截面的对称轴时：,六.正应力,1.正应力,Wz 称为抗弯截面模量,1）沿y
3、轴线性分布，同一 坐标y处，正应力相等。中 性轴上正应力为零。,2）中性轴将截面分为受 拉、受压两个区域。,3）最大正应力发生在距 中性轴最远处。,3.简单截面的抗弯模量,(1)矩形：,(2)圆：,(3)圆环,§6-2 横力弯曲时的正应力 及正应力强度条件,一.横力弯曲时的正应力,二.梁弯曲正应力强度条件,上式是在平面假设和单向受力假设的基础上推导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。,对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。理论证明在L/h大于5时该式的精度能满足工程要求。,利用上式可以进行三方面的强度计算：,已知外力、截面尺寸、许用应力
4、，校核梁的强度；,已知外力、截面形状、许用应力，设计截面尺寸;,已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷,三.算例,例6-1：两矩形截面梁，尺寸和材料均相同，但放置分别如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比 P1P2？,解：,例6-2主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度a为多少？,解：,主梁AB:,副梁CD:,M,由,得,例6-3图示铸铁梁，许用拉应力t =30MPa，许用压应力c =60MPa,z=7.63×10-6m4，试校核此梁的强度。,C截面,B截面,2.5,-4,注：强度校核（选截面、
5、荷载）,1）,（等截面）只须校核Mmax处,2）,（等截面）,(a)对称截面情况只须校核Mmax处使,(b)非对称截面情况，具体分析，一般要校核 M+max与 M-max两处。,解：,例6-4图示梁的截面为T形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为t和c，则 y1和 y2 的最佳比值为多少？（为截面形心）,该梁满足强度条件，安全,例6-5受均布载荷的外伸梁材料许用应力 校核该梁的强度。,例6-6简支梁AB，在截面下边缘贴一应变片，测得其应变= 6×10-4，材料的弹性模量 E=200GPa，求载荷P的大小。,解：,C点的应力,C截面的弯矩,由,得,例7-7图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为 10 mm，E=10GPa，求载荷P的大小。,解：,例6-8我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是 h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。,（使Wz最大）,解：,由此得,谢 谢 大 家 !,
